Famille de vecteurs

Bonjour,

Je me demandais, pourquoi les éléments d’une famille de vecteurs sont indexés ?
Je veux dire, peut importe l’ordre, les éléments engendrés sont les mêmes ?

Je me pose la question car là où je suis en ce moment, il n’utilise pas la notion de famille pour définir une base. Une base pour eux c’est un ensemble de vecteur, un “ système de génération linéaire indépendant de l’espace vectoriel ”. Cette notion n’apparaît pas dans mon cours.

Il n’y a même pas d’article Wikipédia en Français pour traduire Erzeugendensystem !

Merci

Je ne suis pas sûr de bien comprendre ta formulation, mais je pense que ton problème est de vocabulaire.

Généralement quand on parle de famille on demande à ce qu’il y ait une indexation. Alors qu’un ensemble n’est pas indexé naturellement.

L’espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs est en fait indépendant de l’indexation choisie, donc on peut bien parler d’un espace vectoriel engendré par un ensemble de vecteurs.

Cela permet surtout de se repérer lors des preuves en fait.

Je ne suis pas sûr de bien comprendre ta formulation, mais je pense que ton problème est de vocabulaire.

Oui tout à fait !

Généralement quand on parle de famille on demande à ce qu’il y ait une indexation. Alors qu’un ensemble n’est pas indexé naturellement.

Oui c’est ça. Si j’ai bien compris. Ils utilisent la notion d’ensemble.

Merci de me confirmer, c’est bien ce que je pensais.

Ma question du coup est pourquoi en France, on choisit d’enseigner qu’une base est une famille libre et génératrice. Alors que l’indexation des vecteurs n’est pas obligatoire ? Pourquoi utiliser ces notions de famille alors que celle d’ensemble de vecteur suffisait (système ici) ?

En France, ces deux bases sont différentes : $B_1 = ( (1, 0), (0, 1) )$ est différent de $B_2 = ( (0, 1), (1, 0) )$ alors que $\text{Vect}(B_1) = \text{Vect}(B_2)$ et que du point de vu de l’espace vectoriel engendré elles sont indissociables.

Tu parles des matrices de passages ?

N’importe quelle matrice ! Il faut toujours une base ordonnée pour pouvoir l’écrire (sinon comment on arriverait à parler de la première colonne ?)