Égalités de sommes

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Bonjour ou bonsoir !

C'est les vacances ! et comme vacances en prépa est synonyme de DM, j'ai une petite question à vous soumettre :

J'ai ceci :

$$ \sum_{k=1}^n(x^{k-1}I(k, a)\binom {a-1} {k-1}=\sum_{k=1}^n(\frac 1 a x^{k-1})$$

Est-il est possible de "supprimer" la somme dans cette équation, en disant :

$$\forall b\leq a, x^{b-1}I(b, a)\binom {a-1} {b-1}=\frac 1 a x^{b-1}$$

Sans autres justifications ? En sachant que de cette façon je trouve le résultat attendu.

Merci d'avance

Édité par Coyote

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Auteur du sujet

Pardon. I(k, a) est une intégrale de fonction positive, x est un réel (éventuellement nul) a est un entier positif supérieur ou égal à 1.

Le but est de montrer que :

$$ I(b, a) = \frac 1 {a\begin{pmatrix}a-1\\b-1\end{pmatrix}} $$

Édité par jetSett

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J'avoue ne pas bien comprendre toutes les hypothèses. I(k, a) est une intégrale, soit, mais entre quelles bornes ? C'est l'intégrale d'une fonction, mais quelles sont tes hypothèses sur la fonction ?

Enfin, j'imagine que ce que tu notes comme le vecteur colonne $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ désigne en fait le coefficient binomial « a parmi b ». Si c'est bien le cas, en LaTeX on note cela avec la commande \binom a b.

On manque d'infos, donc. Mais sache que de manière générale, on ne peut pas a priori dire que si deux sommes de nombres positifs sont égales, alors chacun des termes de la somme sont égaux entre eux. Cela ne veut pas pour autant dire que cela soit faux dans le cas de ton exercice, mais si c'est vrai, cela demandera des justifications.

Afin de nous permettre de t'aider, je t'invite donc à repréciser l'ensemble des hypothèses et à détailler plus précisément tout ce que tu sais notamment sur $I(k, a)$ en fonction de $a$ et $k$ (et aussi de la fonction à intégrer…).

Auteur du sujet

Merci pour tes réponses, je vais updater mes précédents postes.

Alors on a $$I(b, a)=\int_0^1t^{b-1}(1-t)^{a-b}dt$$ avec $1 \leq a \leq b$

On veut prouver que $$I(b, a) = \frac 1 {a\binom {a-1} {b-1}}$$

et on a $$ \sum_{k=1}^n(x^{k-1}I(k, a)\binom {a-1} {k-1}=\sum_{k=1}^n(\frac 1 a x^{k-1})$$ En prenant uniquement le "contenu" des sommes, on arrive bien au résultat voulu mais à priori c'est pas possible de faire juste comme ça. Je vais continuer à chercher. Merci beaucoup pour tes réponses !

Édité par jetSett

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