Limite et dérivabilité

Salut à toutes et à tous,

Dans un de mes livres, je suis tombé sur un exemple où il est question d’un exercice de démonstration de dérivabilité d’une fonction :

Soit $f$ la fonction définie sur $[0, +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x}$.

• Si $a > 0$, montrer que $f$ est dérivable en $a$.
• La fonction $f$ est-elle dérivable en $0$ ?

Étant incapable à mon niveau d’aboutir à une pareille démonstration, je suis allé voir le corrigé :

La fonction $f : x \mapsto \sqrt{x}$ est définie sur $[0, +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x}$.

• Si $a > 0$, pour tout $x \neq a$, on a :

$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x - a} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}$

et donc $f$ dérivable en $a$ avec

$\lim_{x\to a} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x - a} = \frac{1}{2\sqrt{a}}$

• En $0$, elle n’est pas dérivable car pour tout $x > 0$ :

$\frac{f(x)-f(0)}{x} = \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \longrightarrow_{x\to0} +\infty$

(Je n’ai pas réussi à mettre $x\to0$ en-dessous de la $\longrightarrow$ comme indiqué dans mon livre).

Ce que je ne comprends pas, c’est l’égalité suivante :

Je n’arrive pas à passer de $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x - a}$ à $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}$. Quelqu’un pourrait-il m’aiguiller sur la chose ?

Aussi, si vous savez comment mettre mettre $x\to0$ en-dessous de la $\longrightarrow$, je suis preneur.

Merci d’avance.

Edit : en fait c’est tout con, c’est une identité remarquable type $a² - b² = (a + b)(a - b)$…

C’était pas intuitif de suite, quand même…

Merci Renault, je m’en suis rendu compte pile après.

À titre personnel est-ce que tu as le coup d’œil facile sur ce genre de chose ? J’ai quand même mis des heures à buter là-dessus.

À titre personnel est-ce que tu as le coup d’œil facile sur ce genre de chose ? J’ai quand même mis des heures à buter là-dessus.

Ça dépend du nombre de cafés avant.

Disons que comme c’est un cas assez classique en lycée / prépa, cela est devenu un réflexe de regarder de ce côté en priorité pour gagner du temps. Mais ça m’arrive de louper des choses évidentes pendant longtemps.

Tu as un exercice parallèle où tu peux calculer la dérivée de sqrt(x) comme dérivée de la réciproque de x2. Si tu ne l’as jamais fait, c’est l’occasion

Merci à tous pour vos réponses.

Tu peux me fournir plus de détails s’il te plaît ?

Tu dérives à gauche et à droite l’égalité $\sqrt{x^2}=x$ par la règle de composition

Ca s’appelle la quantité conjuguée : https://fr.wikipedia.org/wiki/Quantit%C3%A9_conjugu%C3%A9e

Lorsque les racines passent du numérateur au dénominateur (ou inversement) avec un changement de signe entre les deux, c’est bon signe

D’ailleurs, même si on dépasse le cadre du sujet ici, ces quantités conjuguées ont le même sens algébrique que la conjugaison complexe.

Si $K$ est corps avec $K[\sqrt{a}]$ une extension de degré deux, alors le groupe de Galois est d’ordre 2 : c’est la conjugaison $\sqrt{a}\to -\sqrt{a}$. Ici, $\sqrt a$ peut être $\sqrt 2$ Ou $\sqrt{-1}$, ce qui compte vraiment c’est l’équation $xˆ2 =a$

Maintenant, pour tout $x\in K$, $(x+\sqrt a)(x - \sqrt a)$ est invariant par la conjugaison de Galois et appartient donc à $K$. Le calcul montre que c’est $xˆ2 -a$.

Mais ce qui est pas mal ici, c’est que le fait d’être exprimable dans $K$ (ce qui signifie que le nombre est devenu plus simple) est systématique par invariance du groupe de Galois.