Limite et dérivabilité

Exemple avec racine carée de x

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Salut à toutes et à tous,

Dans un de mes livres, je suis tombé sur un exemple où il est question d’un exercice de démonstration de dérivabilité d’une fonction :

Soit ff la fonction définie sur [0,+[[0, +\infty[ par f(x)=xf(x) = \sqrt{x}.

  • Si a>0a > 0, montrer que ff est dérivable en aa.
  • La fonction ff est-elle dérivable en 00 ?

Étant incapable à mon niveau d’aboutir à une pareille démonstration, je suis allé voir le corrigé :

La fonction f:xxf : x \mapsto \sqrt{x} est définie sur [0,+[[0, +\infty[ par f(x)=xf(x) = \sqrt{x}.

  • Si a>0a > 0, pour tout xax \neq a, on a :
xaxa=1x+a\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x - a} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}

et donc ff dérivable en aa avec

limxaxaxa=12a\lim_{x\to a} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x - a} = \frac{1}{2\sqrt{a}}
  • En 00, elle n’est pas dérivable car pour tout x>0x > 0 :
f(x)f(0)x=xx=1xx0+\frac{f(x)-f(0)}{x} = \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \longrightarrow_{x\to0} +\infty

(Je n’ai pas réussi à mettre x0x\to0 en-dessous de la \longrightarrow comme indiqué dans mon livre).

Ce que je ne comprends pas, c’est l’égalité suivante :

xaxa=1x+a\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x - a} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}

Je n’arrive pas à passer de xaxa\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x - a} à 1x+a\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}. Quelqu’un pourrait-il m’aiguiller sur la chose ?

Aussi, si vous savez comment mettre mettre x0x\to0 en-dessous de la \longrightarrow, je suis preneur.

Merci d’avance.


Edit : en fait c’est tout con, c’est une identité remarquable type a²b²=(a+b)(ab)a² - b² = (a + b)(a - b)

xaxa=xa(x+a)(xa)=1x+a\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})(\sqrt{x}-\sqrt{a})} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}

C’était pas intuitif de suite, quand même…

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À titre personnel est-ce que tu as le coup d’œil facile sur ce genre de chose ? J’ai quand même mis des heures à buter là-dessus.

Ça dépend du nombre de cafés avant. :D

Disons que comme c’est un cas assez classique en lycée / prépa, cela est devenu un réflexe de regarder de ce côté en priorité pour gagner du temps. Mais ça m’arrive de louper des choses évidentes pendant longtemps.

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Aussi, si vous savez comment mettre mettre x0x\to0 en-dessous de la \longrightarrow, je suis preneur.

Ge0

Perso avec mathjax j’utilise \underset{x\to 0}{\longrightarrow}. Pour ce qui est de cette histoire de se débarrasser des racines au dénominateur, c’est à ranger avec les astuces calculatoires plus utilisées après le lycée. C’est pas grave de ne pas "voir" ce genre de choses au début, mais c’est bien d’arriver à comprendre d’où ça vient (en se rendant compte que la formule du corrigé est essentiellement équivalente à (xa)(x+a)=xa(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})=x-a).

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Merci Renault, je m’en suis rendu compte pile après.

À titre personnel est-ce que tu as le coup d’œil facile sur ce genre de chose ? J’ai quand même mis des heures à buter là-dessus.

Ge0

Ca s’appelle la quantité conjuguée : https://fr.wikipedia.org/wiki/Quantit%C3%A9_conjugu%C3%A9e

Lorsque les racines passent du numérateur au dénominateur (ou inversement) avec un changement de signe entre les deux, c’est bon signe ;)

D’ailleurs, même si on dépasse le cadre du sujet ici, ces quantités conjuguées ont le même sens algébrique que la conjugaison complexe.

Si KK est corps avec K[a]K[\sqrt{a}] une extension de degré deux, alors le groupe de Galois est d’ordre 2 : c’est la conjugaison aa\sqrt{a}\to -\sqrt{a}. Ici, a\sqrt a peut être 2\sqrt 2 Ou 1\sqrt{-1}, ce qui compte vraiment c’est l’équation xˆ2=axˆ2 =a

Maintenant, pour tout xKx\in K, (x+a)(xa)(x+\sqrt a)(x - \sqrt a) est invariant par la conjugaison de Galois et appartient donc à KK. Le calcul montre que c’est xˆ2axˆ2 -a.

Mais ce qui est pas mal ici, c’est que le fait d’être exprimable dans KK (ce qui signifie que le nombre est devenu plus simple) est systématique par invariance du groupe de Galois.

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