Les ensembles : les bases

Mais la définition donnée au début de cette section demeure : « un ensemble est un truc qui contient des trucs »

Ce qui malheureusement contredit l’intérêt de définir les ensembles, puisqu’on veut exactement éviter les paradoxes à base de "l’ensemble qui contient les ensembles".

Source:Holosmos

Avec cette approche, on ne peut pas parler de sous-ensemble non plus.
Rappel : pour construire l’ensemble des nombres naturels, on part de l’ensemble vide {} pour définir 0. ensuite on considère un ensemble qui contient uniquement l’ensemble vide {{}} pour définir 1, de même {{{}}} pour 2 et ainsi de suite.

C’est quand même factuellement pas très juste, et du moins très maladroit. On pourrait se passer de ce commentaire.

Très maladroit, oui, le reste, on pourrait ergoter.

Ergoter n’a pas grand intérêt. Ou bien on fait une discussion sérieuse, ou bien on s’en passe.

théorie naïve des ensembles.

ça n’est naïf que de nom

Oui et non. Sans cadre de théorie des modèles ou au moins d’univers cadre, cela demeure naïf. Le paradoxe de Russel typiquement.

En fait faut se rendre compte que dire "naif" à ce propos à un lecteur qui n’y connaît rien, c’est potentiellement le prendre pour un con

Considérons deux ensembles E={1;2} et F={2;1}

C’est pas commun les points-virgules, les virgules sont plus usuelles.

J’ai décidé d’adopter cette convention suite à des élèves qui ont été très confus sur l’utilisation de virgule. De même, j’utilise des points plus loin. Je suis sûr qu’il n’y aura pas de confusion.

N’empêche que c’est un contre-sens.

En effet, à l’époque où ces notations se sont fixées et ont été popularisées, les plus grandes écoles de mathématiques étaient allemandes, et l’allemand était de fait la langue des plus grands mathématiciens de l’époque.

À moins d’être nationnaliste allemand, je vois pas pour quoi dire un truc aussi faux.

Si l’école de logique est en bonne partie allemande, c’est aller un peu vite en besogne en disant que les allemands avaient les plus grandes écoles de mathématiques et les plus grands mathématiciens.

Weierstrass, Cantor, Dedekind, Kummer, Kronecker, Dirichlet, Hurwitz, Zermelo, Fraenkel, Löwenheim … La plupart des mathématiciens qui ont participé à l’axiomatisation des réels (1870~1910) et de la théorie des ensembles étaient des écoles allemandes : Berlin, Göttingen, Könnigsberg en tête (sauf Skolem qui est norvégien). Je ne néglige pas l’importance de Bolzano ou de de Méray, mais ils sont antérieurs aux autres. (Source : Les constructions des nombres réels dans le mouvement d’arithmétisation de l’analyse par Jacqueline Boniface)

Ce qui est une vision très limitée des mathématiques de cette époque. Relis bien mon commentaire.

D’ailleurs, même l’ouvrage que tu cite voit plus que ça

C’est plus discutable que ça. Le problème avec ce commentaire c’est qu’il n’est pas historique mais contemporain. Les nombres négatifs tels qu’on les voit aujourd’hui n’existaient pas tels quels mais on a pas attendu des siècles pour faire des soustractions …

J’ai mémoire d’avoir vu des articles d’Euler qui étaient assez virulents contre les nombres négatifs.

Encore une fois, si tu veux ergoter ça m’intéresse pas. Si tu veux faire un travail historique il faudra aller bien plus dans le détail que ça.

qu’on appelle les nombres rationnels. Ce sont ceux qui s’expriment comme le résultat de la division entre deux entiers.

entiers relatifs

Inutile de préciser, ce n’est pas le propos :-)

Quitte à parler des ensembles de nombres usuels, je trouve la précision importante.

Autrement dit, ⊂ se fait toujours entre deux ensembles, alors que ∈ se fait entre un élément et un ensemble.

Ce commentaire me gène beaucoup, car toute la force de la notion d’ensemble est quelle fait disparaître tout le reste : tout est ensemble (sauf si on fait des catégories, mais bon, qui ici en fait?). Ça n’a pas de sens sémantique de distinguer un élément d’un ensemble.

Personnellement, j’en fais. Et effectivement ça n’a aucun sens, mais ce sera pour le prochain tutoriel

Pas pour ça que c’est plus juste.

Et en fait, et c’est valable pour tout ce sur quoi j’ai pas répondu, mais tu n’es absolument pas clair sur le but de ton tutoriel.

• Ou bien tu veux pas faire d’axiomatique et ça sert à rien d’en parler car ce ne sera jamais précis pour le lecteur qui ne connaît pas.
• Ou bien tu veux les finesses de l’axiomatique et il faut le faire pour de vrai sinon c’est flou et sans intérêt.

De mémoire, c’est plutôt $0=\emptyset$, $1 = \{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ et par récurrence $n+1 = \{n,\{n\}\}$, non? J’ai un doute ça remonte pour moi

Ergoter n’a pas grand intérêt. Ou bien on fait une discussion sérieuse, ou bien on s’en passe.

Du coup, on s’en passe. On parle de pédagogie des mathématiques, pas de mathématiques.

théorie naïve des ensembles.

ça n’est naïf que de nom

Oui et non. Sans cadre de théorie des modèles ou au moins d’univers cadre, cela demeure naïf. Le paradoxe de Russel typiquement.

En fait faut se rendre compte que dire "naif" à ce propos à un lecteur qui n’y connaît rien, c’est potentiellement le prendre pour un con

Non, c’est lui dire que c’est un cours de base sur les bases des mathématiques.

Considérons deux ensembles E={1;2} et F={2;1}

C’est pas commun les points-virgules, les virgules sont plus usuelles.

J’ai décidé d’adopter cette convention suite à des élèves qui ont été très confus sur l’utilisation de virgule. De même, j’utilise des points plus loin. Je suis sûr qu’il n’y aura pas de confusion.

N’empêche que c’est un contre-sens.

Non.

En effet, à l’époque où ces notations se sont fixées et ont été popularisées, les plus grandes écoles de mathématiques étaient allemandes, et l’allemand était de fait la langue des plus grands mathématiciens de l’époque.

À moins d’être nationnaliste allemand, je vois pas pour quoi dire un truc aussi faux.

Si l’école de logique est en bonne partie allemande, c’est aller un peu vite en besogne en disant que les allemands avaient les plus grandes écoles de mathématiques et les plus grands mathématiciens.

Weierstrass, Cantor, Dedekind, Kummer, Kronecker, Dirichlet, Hurwitz, Zermelo, Fraenkel, Löwenheim … La plupart des mathématiciens qui ont participé à l’axiomatisation des réels (1870~1910) et de la théorie des ensembles étaient des écoles allemandes : Berlin, Göttingen, Könnigsberg en tête (sauf Skolem qui est norvégien). Je ne néglige pas l’importance de Bolzano ou de de Méray, mais ils sont antérieurs aux autres. (Source : Les constructions des nombres réels dans le mouvement d’arithmétisation de l’analyse par Jacqueline Boniface)

Ce qui est une vision très limitée des mathématiques de cette époque. Relis bien mon commentaire.

D’ailleurs, même l’ouvrage que tu cite voit plus que ça

Oui, elle remet de Méray et Bolzano à leur place de pionniers. Précisément ce que j’ai dit dans mon paragraphe.

L’école de Berlin a été construite et poussée par l’empereur allemand et conçue suite à la constatation de l’efficacité de l’Ecole Polytechnique française. Et il se trouve que sur ce domaine, et sur cette période, c’est bien les mathématiciens allemands qui ont brillé.

C’est plus discutable que ça. Le problème avec ce commentaire c’est qu’il n’est pas historique mais contemporain. Les nombres négatifs tels qu’on les voit aujourd’hui n’existaient pas tels quels mais on a pas attendu des siècles pour faire des soustractions …

J’ai mémoire d’avoir vu des articles d’Euler qui étaient assez virulents contre les nombres négatifs.

Encore une fois, si tu veux ergoter ça m’intéresse pas. Si tu veux faire un travail historique il faudra aller bien plus dans le détail que ça.

Mais qui parle de travail historique ? On parle d’un cours sur les ensembles, et oui, je l’aggrémente de commentaires pour remettre dans le contexte pour adoucir le cours. Si tu veux faire un cours parfait, rien ne t’en empêche.

Honnêtement, je ne vois vraiment pas l’intérêt de tes commentaires jusqu’ici.

Les deux constructions fonctionnent, la deuxième est la plus utilisée. Le fondement théorique est qu’il existe un ensemble infini, à partir de là, on fait un peu ce qu’on veut.

($1 = \{\emptyset\}$ ceci dit)

Du coup, on s’en passe. On parle de pédagogie des mathématiques, pas de mathématiques.

La pédagogie c’est pas soupoudrer d’anecdotes.

L’école de Berlin a été construite et poussée par l’empereur allemand et conçue suite à la constatation de l’efficacité de l’Ecole Polytechnique française. Et il se trouve que sur ce domaine, et sur cette période, c’est bien les mathématiciens allemands qui ont brillé.

Mais tu te rends comptes que mathématiques ≠ logique des allemands ?

Mais qui parle de travail historique ? On parle d’un cours sur les ensembles, et oui, je l’aggrémente de commentaires pour remettre dans le contexte pour adoucir le cours. Si tu veux faire un cours parfait, rien ne t’en empêche.

Tu pourrais adoucir sans raconter des anecdotes folkloriques sans base valable.

Honnêtement, je ne vois vraiment pas l’intérêt de tes commentaires jusqu’ici.

• Pédagogiquement : raconter des choses justes est important
• Mathématiquement : tout ne fait pas sens dans ton exposé, parce que tu n’as pas décidé entre axiomatique ou pas axiomatique
• Historiquement : c’est un travail que tu ne connais manifestement pas, donc autant se passer de ce qu’on maîtrise pas

Si tu perçois pas l’intérêt de ce que je dis, tant pis de toute façon c’est ton texte. Mais mes commentaires sont certes critiques, mais pas tirés de n’importe où. Si tu décides de ne pas écouter l’avis des gens compétents, tant pis pour toi j’ai envie de dire.

Du coup, on s’en passe. On parle de pédagogie des mathématiques, pas de mathématiques.

La pédagogie c’est pas soupoudrer d’anecdotes.

D’expérience, raconter des anecdotes sert au contraire énormément à permettre de comprendre le cours, le structure, et le faire retenir.

Tu pourrais adoucir sans raconter des anecdotes folkloriques sans base valable.

Mais en fait, je ne vois pas toujours où tu veux en venir. A cette époque, l’école allemand est la plus impressionnante et la plus investie sur ce domaine. Point à la ligne. L’ouvrage réhabilite les travaux de Bolzano et de Méray, mais n’empêche que la plus grande partie de la formalisation repose sur l’école allemande. Si on veut parvenir à un consensus, je peux affirmer que l’Ecole française et l’Ecole allemand ont toutes deux apportées à hauteur égale, mais c’est faux. D’où le travail du groupe Bourbaki dans les années 30 ultérieurement pour ramener ces mathématiques dans les mathématiques françaises.

Honnêtement, je ne vois vraiment pas l’intérêt de tes commentaires jusqu’ici.

• Pédagogiquement : raconter des choses justes est important

C’est le cas.

• Mathématiquement : tout ne fait pas sens dans ton exposé, parce que tu n’as pas décidé entre axiomatique ou pas axiomatique

Au contraire, ce n’est pas un cours axiomatique. Mais je ne vois pas en quoi décider de ne pas faire un cours axiomatique m’interdit de parler d’axiomes. C’est un peu comme demander de faire un cours non-axiomatique sans démonstration, c’est un non-sens.

Après, je conçois que ce soit une vue pédagogique relative, mais c’est la mienne.

• Historiquement : c’est un travail que tu ne connais manifestement pas, donc autant se passer de ce qu’on maîtrise pas

Bonjour le jugement de valeur envers quelqu’un que tu ne connais pas. Je ne répondrai même pas à cette attaque ad hominem.

Tu confonds arguments d’autorité et autorité de l’argument, ton piédestal est très haut.

Bref, j’ignorerais tes commentaires tant qu’ils ne sont pas dialectiquement valables.

Bonjour,

Merci de rester courtois et constructifs dans les commentaires.

Et si vous souhaitez discuter des actes de modération, c’est par MP, pas sur ce sujet.

Mais en fait, je ne vois pas toujours où tu veux en venir. A cette époque, l’école allemand est la plus impressionnante et la plus investie sur ce domaine. Point à la ligne. L’ouvrage réhabilite les travaux de Bolzano et de Méray, mais n’empêche que la plus grande partie de la formalisation repose sur l’école allemande. Si on veut parvenir à un consensus, je peux affirmer que l’Ecole française et l’Ecole allemand ont toutes deux apportées à hauteur égale, mais c’est faux. D’où le travail du groupe Bourbaki dans les années 30 ultérieurement pour ramener ces mathématiques dans les mathématiques françaises.

Franchement je sais pas ce que tu comprends pas. J’ai dit, mot pour mot :

Si l’école de logique est en bonne partie allemande, c’est aller un peu vite en besogne en disant que les allemands avaient les plus grandes écoles de mathématiques et les plus grands mathématiciens.

Tu peux pas faire un commentaire sur l’ensemble des mathématiques de l’époque en t’intéressant juste sur la question des fondements et en conclure que les allemands étaient les seuls bons matheux.

Au contraire, ce n’est pas un cours axiomatique. Mais je ne vois pas en quoi décider de ne pas faire un cours axiomatique m’interdit de parler d’axiomes. C’est un peu comme demander de faire un cours non-axiomatique sans démonstration, c’est un non-sens.

Encore une fois, tu n’as pas compris ce que j’ai écrit.

Mais la définition donnée au début de cette section demeure : « un ensemble est un truc qui contient des trucs »

Ce qui malheureusement contredit l’intérêt de définir les ensembles, puisqu’on veut exactement éviter les paradoxes à base de "l’ensemble qui contient les ensembles".

Pourquoi ce que j’ai dit ici est un peu faux ? Car le principe d’extensionnalité affirme qu’un ensemble est caractérisé par ses éléments. Cela signifie donc que si il existe plusieurs ensembles qui n’ont aucun ensemble, alors ils sont tous égaux.

Maintenant question : qu’est-ce qui nous permet d’affirmer que de tels ensembles existent ? En réalité, absolument rien. En théorie non-naïve des ensembles, on s’attarderait sur ce problème. Ici, nous allons l’ignorer. L’ensemble existe. Point. J’ai juste profité d’un coin de cours pour vous faire voir les limites de notre approche naïve.

Je vois pas l’intérêt de ce commentaire si on ne fait pas complètement l’approche axiomatique.

Comment tu penses que le lecteur doit pouvoir sélectionner entre les passages où tu parles de points axiomatiques précis (mais de façon pas si précise que ça) et les passages où tu racontes un truc factuellement faux si on fait attention à l’axiomatique ?

Parler d’axiomatique n’est pas interdit mais t’as pas 40 solutions :

• ou bien tu veux faire quelque chose qui ne sera pas correct d’un point de vue axiomatique parce que tu veux pas t’encombrer d’un vocabulaire trop lourd, typiquement en disant "les ensembles sont des trucs qui contiennent des trucs"
• ou bien tu fais quelque chose de juste en comparaison avec l’axiomatique classique, sans même être obligé de réciter les axiomes

Mais tu peux pas choisir les passages où tu décides de faire attention à l’axiomatique et ceux où tu t’en fiches parce que tu l’as décidé.

Mais en fait, je ne vois pas toujours où tu veux en venir. A cette époque, l’école allemand est la plus impressionnante et la plus investie sur ce domaine. Point à la ligne. L’ouvrage réhabilite les travaux de Bolzano et de Méray, mais n’empêche que la plus grande partie de la formalisation repose sur l’école allemande. Si on veut parvenir à un consensus, je peux affirmer que l’Ecole française et l’Ecole allemand ont toutes deux apportées à hauteur égale, mais c’est faux. D’où le travail du groupe Bourbaki dans les années 30 ultérieurement pour ramener ces mathématiques dans les mathématiques françaises.

Franchement je sais pas ce que tu comprends pas. J’ai dit, mot pour mot :

Si l’école de logique est en bonne partie allemande, c’est aller un peu vite en besogne en disant que les allemands avaient les plus grandes écoles de mathématiques et les plus grands mathématiciens.

"A l’époque où ces notations se sont fixées, les plus grandes Ecoles de mathématiques étaient françaises et allemandes, et le français et l’allemand étaient donc les langues des publications les plus importants. Ainsi, le N d’avant était pour entiers naturels, ou pour natürliche Zahlen, qui signifie entiers naturels en allemand. Le lettre concordait.

Dans natürliche Zahlen, il y a natürlich qui signifie naturels et Zahlen qui signifie nombres. Puisque ces nombres négatifs n’étaient plus <<naturels>>, on a décidé de garder le Z de Zahlen. Notation qui fut popularisée par des français d’ailleurs. L’histoire moderne des mathématiques est un grand bazar "

te convient mieux ?

Je vois pas l’intérêt de ce commentaire si on ne fait pas complètement l’approche axiomatique.

Comment tu penses que le lecteur doit pouvoir sélectionner entre les passages où tu parles de points axiomatiques précis (mais de façon pas si précise que ça) et les passages où tu racontes un truc factuellement faux si on fait attention à l’axiomatique ?

Le fait qu’ils soient tous dans des passages [[information]], dont le titre est explicite.

Bonjour les agrumes !

La bêta a été mise à jour et décante sa pulpe à l’adresse suivante :

Merci d’avance pour vos commentaires.

Hello,

J’insiste sur le message de @Gabbro. Respirez un bon coup, allez prendre l’air, écoutez de la musique, jouez du piano, profitez de la soirée auprès de votre moitié,… Peu importe mais soufflez un peu.

Et quand vous reviendrez sur le sujet, vous constaterez que, par exemple, votre embrouille quant aux mathématiciens allemands est du détail qui peut être résolu très simplement en rendant neutre le sens de la phrase :

En effet, à l’époque où ces notations se sont fixées et ont été popularisées, les plus grandes écoles de mathématiques étaient allemandes, et l’allemand était de fait la langue des plus grands mathématiciens de l’époque.

devient

En effet, à l’époque où ces notations se sont fixées et ont été popularisées (1870~1910), de nombreux mathématiciens étaient de nationalité allemande, et ceux-ci influencèrent l’usage de l’allemand dans les notations mathématiques.

En effet, à l’époque où ces notations se sont fixées et ont été popularisées (1870~1910), de nombreux mathématiciens étaient de nationalité allemande, et ceux-ci influencèrent l’usage de l’allemand dans les notations mathématiques.

ou

A l’époque où ces notations se sont fixées, les plus grandes Ecoles de mathématiques étaient françaises et allemandes, et le français et l’allemand étaient donc les langues des publications les plus importants. Ainsi, le N d’avant était pour entiers naturels, ou pour natürliche Zahlen, qui signifie entiers naturels en allemand. Le lettre concordait

Je vais répondre factuellement.

Source 1 et source 2 ne sont bizarrement pas d’accord sur tout mais on peut trouver:

• La notation $\emptyset$ vient de Bourbaki (Weil)
• L’appartenance $\in$ de Peano
• $\subset$ et $\supset$ par Gergonne
• Les accolades $\{x\}$ par Cantor
• $\mathbf N$ par Peano
• $\mathbf Z$ par Landau
• $\mathbf Q$ par Bourbaki
• $\mathbf C$ par Jacobson (ou Peano?)
• $\forall$ par Gentzen
• $\aleph$ par Cantor
• $\exists$ par Peano
• $\cap$ et $\cup$ par Peano

Bref, c’est européen. Si on parle juste de $\mathbf Z$ oui on peut dire que ça vient de Landau. Mais on peut aussi observer qu’il n’y a pas de majorité allemande dans les notations principales utilisées dans le tuto. D’ailleurs $\mathbf N$ n’est pas allemand.

Nan mais l’idée, c’est que cela n’a en fait aucune importance. Dire que de nombreux (nombreux ne signifie pas majoritaire, ça veut dire plusieurs) mathématiciens étaient allemand et qu’ils ont influencé certains usages ne signifie pas que d’autres nationalités étaient sans reste. C’est une tournure neutre, basée sur le paragraphe d’origine, qui mentionne cette influence sans jouer à qui a la plus grosse.

Nan mais l’idée, c’est que cela n’a en fait aucune importance.

Comment ça, ça n’a aucune importance ? Il y a des choses qu’on n’est pas censé lire et commenter si besoin dans une bêta ? Il y a un pourcentage de choses qu’on autorise sans s’intéresser à si c’est correct ou non ?

Je lis un contenu. Je discerne des passages fautifs ou trompeurs. Je le signale à l’auteur. Après si c’est mal pris ou pas corrigé, tant pis. Mais dire que c’est juste un caprice de ma part, bah non, c’est le but de la bêta que de faire une vraie lecture et de vrais commentaires.

Dire que de nombreux (nombreux ne signifie pas majoritaire, ça veut dire plusieurs) mathématiciens étaient allemand et qu’ils ont influencé certains usages ne signifie pas que d’autres nationalités étaient sans reste. C’est une tournure neutre, basée sur le paragraphe d’origine, qui mentionne cette influence sans jouer à qui a la plus grosse.

Le paragraphe vient après la notation $\mathbf Z$.

Si on parle juste de Z oui on peut dire que ça vient de Landau.

Mais le paragraphe en question contient une référence à $\mathbf N$ qui n’est pas clairement une notation allemande, ça a l’air plus compliqué.

D’ailleurs ton passage, je sais pas s’il a vocation à finir dans le tuto ou pas.

Après oui, on peut faire du post-vérité et se dire que finalement c’est une anecdote pas plus fausse qu’une autre et qu’après tout "cela n’a en fait aucune importance".

C’est une anecdote. Du détail par rapport au contenu principal.

Je ne dis pas que c’est un caprice de ta part, ni que tu as tort de soulever ce qui te semble une imprécision mais il je faut pas aussi se braquer.

Ce n’est pas comme cela qu’un auteur sera incité à modifier la formulation.

J’ai fait une proposition qui maintient globalement la structure du paragraphe en question mais en modifiant le sens de celui-ci (et les deux éléments de la proposition sont vrais : il y a eu plusieurs mathématiciens allemands et ils ont eu une influence, c’est tout ce qu’elle se limite à soulever). On peut modifier avec "français" et cela l’est tout autant.

L’OP a, je crois, fait une autre proposition plus haut.

L’idée c’est de trouver un juste milieu, un consensus et revenir au coeur du contenu.

Cela n’a aucune importance parce que les mathématiciens de l’époque, qu’ils soient tchèques, français ou allemands, ne venaient pas avec le drapeau national dire "On est les meilleurs, les plus grands. Moi je représente l’Allemagne/la France/…". Nan, ils faisaient juste leur boulot et ont chacun apporté une pierre à l’édifice. Ce concours des "plus grandes écoles de mathématiques", le lecteur n’en a que faire.

On pourrait carrément supprimer ce paragraphe, le contenu n’en sera pas dénaturé pour autant.

@Lyph : Je t’invite à faire le choix qui te semble le plus opportun : modifier selon l’une ou l’autre proposition, voire supprimer l’anecdote.

Le débat est toutefois clos.

Un point meta à prendre en compte, c’est que la discussion sur les tutoriels en beta est là avant tout pour rendre service aux auteurs des contenus. Il faut donner son avis de façon constructive, mais aussi d’une façon qui motive l’auteur au lieu de le-la démotiver.

En particulier, pour ma part j’applique la même règle que je suis pendant un exposé : sauf problème majeur, je fais une remarque une fois, et si la sauce ne prend pas je laisse tomber.

(Évidemment la notion de problème "majeur" est subjective, je considère qu’une image de Lena est un problème majeur, Holosmos a décidé que sa bataille du moment était la place de l’école mathématique allemande dans la compréhension des ensembles.)

S’il faut mettre ses gants de boxe pour écrire un tutoriel, ce n’est pas agréable, et du coup on écrit moins ou on va contribuer son contenu ailleurs. Je pense qu’il est plus utile dans l’absolu d’être prêt-e-s à tolérer des différences d’opinions et des désaccords sur des aspects de détail du tutoriel, et/ou un style qu’on n’aurait pas choisi soi-même, etc.

Bonjour les agrumes !

La bêta a été mise à jour et décante sa pulpe à l’adresse suivante :

Merci d’avance pour vos commentaires.

edit du 27 11 2021 à 14h30 : j’ai rajouté plein d’illustrations où il fallait, et jusqu’à la fin de la partie de l’inclusion, le corps est là. Il reste des relectures, des légendes à faire correctement, mais je le ferais à la toute fin je pense.

J’ai aussi réussi à faire une partie un peu compliquée mais qui se tient pour le moment pour expliquer la différence entre $\in$ et $\subset$. Je l’ai mis dans une partie à part, et il faut que je la relise, d’où le fait qu’elle soit renvoyée à la fin.

Il me reste aussi à finir les propriétés de $\cap$ et $\cup$, et les liens avec le complémentaire.

Et il faut que je trouve des exercices d’application pour la fin, si vous en avez, je suis preneur !

Tout au début :

l’idée intuitive qu’un ensemble est un « truc qui contient des trucs », peu importe ce que sont lesdits trucs contenus ;
le symbole \in∈, qui se lit « appartient à » et qui va permettre d’exprimer symboliquement l’affirmation « truc appartient à machin ».

ce serait peut être mieux d’uniformiser lez vocabulaire :

l’idée intuitive qu’un ensemble est un «machin qui contient des trucs », peu importe ce que sont lesdits trucs contenus ;
le symbole \in∈, qui se lit « appartient à » et qui va permettre d’exprimer symboliquement l’affirmation « truc appartient à machin ».

ou alors :

l’idée intuitive qu’un ensemble est un « truc qui contient des trucs », peu importe ce que sont lesdits trucs contenus ;
le symbole \in∈, qui se lit « appartient à » et qui va permettre d’exprimer symboliquement l’affirmation « truc appartient à truc».

Par la suite, on peut encore lire truc et machin, ce serait bien de vérifier la cohérence.

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Tout comme 4 = 12 : 34=12:3. 44 et 12 : 312:3 sont deux écritures pour le même objet (ici, le nombre 44).

Ce n’est pas très clair, cette notation nouvelle.

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Cela signifie donc que si il existe plusieurs ensembles qui n’ont aucun ensemble, alors ils sont tous égaux.

je m’attendais à lire :

Cela signifie donc que si il existe plusieurs ensembles qui n’ont aucun élément, alors ils sont tous égaux.

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Il y a une caste de nombres réels particuliers (pour de multiples et magnifiques propriétés mathématiques que je n’ai pas le temps de développer ici), qu’on appelle les nombres rationnels. Ce sont ceux qui s’expriment comme le résultat de la division entre deux entiers.

Il y a aussi des rationnels négatifs…

Il y a une caste de nombres réels particuliers (pour de multiples et magnifiques propriétés mathématiques que je n’ai pas le temps de développer ici), qu’on appelle les nombres rationnels. Ce sont ceux qui s’expriment comme le résultat de la division entre un entier relatif et un entier.