croissance d'une suite de fonction

Bonsoir,

Je cherche à étudier les variations de la suite f_n(x)=n.sin(x/n) pour x fixé entre 0 et Pi mais je ne vois pas trop comment faire. j’ai essayé d’utiliser sin(x)<x ou le développement limité de sin(x) mais sans y arriver. si quelqu’un peut m’aider, je l’en remercie.

Salut,

Est-ce que tu as tracé cette fonction de 0 à Pi pour différentes valeurs de n ? Peut-être que cela te donnera quelques idées d’approches !

Bonsoir,

Merci pour la réponse. Oui, je l’ai fait et elle est croissante mais je ne sais pas comment le montrer de façon rigoureuse.

Tiens, cette fonction était déjà passée par ici… Au fait, comment vois-tu la croissance ?

bonsoir Gil cot,

J’essaie de calculer f_(n+1)(x)-f_(n)(x)

En quoi, le fait que la suite converge de façon non uniforme peut m’aider?

Donc… : $(n+1)\times\sin(\frac{x}{n+1}) - n\times\sin(\frac{x}{n}) = ?$ Va au bout de ta pensée pour qu’on sache où tu coinces.

x est fixé ? Donc je vais le noter k, au lieu de x, parce que k, ça ressemble à une constante, alors que x, ça ressemble à une variable.

n varie, et tend vers l’infini ? Je vais faire un changement de variable : y=1/n, comme ça y tend vers 0, et quand j’ai des fonctions trigonométriques, j’aime bien les variables qui tendent vers 0.

x est fixé ? Donc je vais le noter k, au lieu de x, parce que k, ça ressemble à une constante, alors que x, ça ressemble à une variable.

oui enfin "clairement" $k$ est un entier alors que $x$ est un réel (ou complexe)

Bonjour, Merci pour vos messages.

@Gil Cot, je coince sur le fait que pour x compris entre 0 et PI, la suite (x/n) est décroissante à partir de n=2 et donc je ne peux pas comparer l’évolution des deux expressions de chaque coté du signe - dans ton expression. Je dois trouver une astuce… que je ne vois pas !

@elegance, j’ai essayé un changement de variable y=x/n mais je n’ai pas réussi. Je me suis peut être emmêler les pinceaux. Je vais réessayer.

J’ai envie de te conseiller d’essayer un encadrement classique du type

$x-\frac{x^3}6 \leq \sin x\leq x$

que tu peux justifier à la main (avec l’idée d’un DL en 0)

bonsoir et merci Holosmos,

Cela aussi, je l’ai fait mais cela n’est valable qu’en 0, pas sur mon intervalle entre 0 et pi, non?

Pour $n$ assez grand, $x/n$ tend bien vers 0.

Mais honnêtement j’essaye de mon côté et c’est pas complètement évident, je regarde si y a pas mieux comme conseil

oui effectivement, merci!

Alors c’est un peu biscornu mais pour étudier les variations je te conseille de mettre sous la forme

$f_n(x)= x \frac1{x\frac1n}\sin(x\frac1n)$

de poser ensuite le changement de variable $X_n=x\frac1n$.

Maintenant tu dois pouvoir étudier les variations en étudiant la fonction

$\frac 1X\sin X$

avec $X$ proche de zéro. Tu devrais faire une étude assez précise de ta fonction (à tout hasard un DL) et ensuite en conclure sur la différence entre deux valeurs en quand $X$ décroît

Merci. Je vais essayer.

Je viens de rentrer. Holosmos a été rapide et à lancé sur la piste à laquelle je pensais : quand on veut faire un changement de variable, il faut savoir ce qu’on recherche et ici c’est de se ramener à une forme connue $\frac{\sin X}{X}$ (et c’est top car on connait ces deux types de variation et normalement leur composition aussi.)

Voilà, Holosmos a suivi la piste que je proposais, et il a fini par trouver.

Oui je tenais à remercier l’expertise et l’intelligence rares d’@elegance, qui en quelques mots d’apparence absurdes a pu m’éclairer sur la voie à suivre