croissance d'une suite de fonction

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Bonsoir,

Je cherche à étudier les variations de la suite fn(x)=n.sin(x/n) pour x fixé entre 0 et Pi mais je ne vois pas trop comment faire. j’ai essayé d’utiliser sin(x)<x ou le développement limité de sin(x) mais sans y arriver. si quelqu’un peut m’aider, je l’en remercie.

x est fixé ? Donc je vais le noter k, au lieu de x, parce que k, ça ressemble à une constante, alors que x, ça ressemble à une variable.

n varie, et tend vers l’infini ? Je vais faire un changement de variable : y=1/n, comme ça y tend vers 0, et quand j’ai des fonctions trigonométriques, j’aime bien les variables qui tendent vers 0.

Bonjour, Merci pour vos messages.

@Gil Cot, je coince sur le fait que pour x compris entre 0 et PI, la suite (x/n) est décroissante à partir de n=2 et donc je ne peux pas comparer l’évolution des deux expressions de chaque coté du signe - dans ton expression. Je dois trouver une astuce… que je ne vois pas !

@elegance, j’ai essayé un changement de variable y=x/n mais je n’ai pas réussi. Je me suis peut être emmêler les pinceaux. Je vais réessayer.

Alors c’est un peu biscornu mais pour étudier les variations je te conseille de mettre sous la forme

fn(x)=x1x1nsin(x1n)f_n(x)= x \frac1{x\frac1n}\sin(x\frac1n)

de poser ensuite le changement de variable Xn=x1nX_n=x\frac1n.

Maintenant tu dois pouvoir étudier les variations en étudiant la fonction

1XsinX\frac 1X\sin X

avec XX proche de zéro. Tu devrais faire une étude assez précise de ta fonction (à tout hasard un DL) et ensuite en conclure sur la différence entre deux valeurs en quand XX décroît

+2 -0

Je viens de rentrer. Holosmos a été rapide et à lancé sur la piste à laquelle je pensais : quand on veut faire un changement de variable, il faut savoir ce qu’on recherche et ici c’est de se ramener à une forme connue sinXX\frac{\sin X}{X} (et c’est top car on connait ces deux types de variation et normalement leur composition aussi.)

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