Statistique, définition moyenne empirique

La premiere expression est la moyenne d’une suite de variable aléatoire. Le resultat est une variable aleatoire. C’est un estimateur de $E[X]$.

La seconde expression est la moyenne empirique d’un echantillon observé.

Imagine $X_1$ et $X_2$ de loi uniforme, respectivement sur [0,1] et [2,3].

La moyenne empirique de $Y = X_1 + X_2$ est $\frac 1 2(X_1 + X_2)$. A ce stade, tu ne peux rien faire de plus pour avoir un resultat concret.

Maintenant, on te donne un certain nombre d’observations e.g. (0.1, 2.1). Dans ce cas precis, j’ai construit l’exemple de sorte a ce que l’on puisse connaitre de quelle variable aleatoire chaque observation provient (resp $X_1$ et $X_2$). Ton estimation de $\bar X$ est donc donnee par $\bar x = \frac 1 2 (0.1 + 2.1)$

Mais en pratique il se peut parfaitement que tu observes plus d’observations que de variables aleatoires. Imagine par example que $X_1$ et $X_2$ soient des variables aleatoires representant la mesure de temperature des stations meteorologique dans une ville donnee. A ce moment, les $x_i$ seront toutes les mesures observees de tes deux stations.

Souvent en pratique on a une seule variable aleatoire et l’on suppose que les observations sont i.i.d et suivent cette variable aleatoire sous-jacente. Mais en realite l’estimateur fonctionne meme si chaque observation provient de variables aleatoires avec des lois differentes et non independentes.