Système quantique

Un électron, dont l’hamiltonien ne dépend pas du temps, est dans l’état quantique décrit par la fonction d’onde ψ(x,t)=[c0φ0(x)e^(−iE0.t/hbar)] + [c1φ1(x)e^(−iE1t/hbar)] où E0≠E1 et φ0(x) et φ1(x) sont les fonctions propres du hamiltonien pour les valeurs propres E0 et E1, respectivement. Est-ce que la densité de probabilité de présence dans l’espace de l’électron est stationnaire ? **Ce que j’ai essayé de faire:** La densité de probabilité cherchée est L’intégrale {-inf} à {+inf} de [(psi(x)*.psi(x).dx] En développant (sauf erreur), je trouve: intégrale entre -inf et +inf de |c0|²|φ0|² + |c1|²|φ1|² ??? A priori ça semble indépendant du temps, mais je ne suis pas convaincu ???

Salut, tu as un problème dans la définition que tu utilises de la densité de probabilité! Tu as calculé l’intégrale de la densité de probabilité sur l’ensemble de l’espace, ce qui vaut 1 si ta fonction d’onde est normalisée.

Merci pour ta réponse! Alors, que dois-je faire?

Si $\int\psi^*\psi dx$ est une probabilité, quelle quantité est une densité de probabilité ?

Voici ce que je crois avoir compris: la fonction d’onde ψ est un vecteur d’un espace de Hilbert des états possibles du système. Le carré de sa norme représente la densité volumique de probabilité de présence de la particule : |ψ(r,t)|²=dP/dV, dV étant associé à un élément de volume infinitésimal. La probabilité de présence élémentaire de la particule à l’intérieur de ce volume est donc dP=|ψ|²dV ???

Dans la question présente, on a une densité axiale de probabilité de présence ou probabilité de présence par unité de longueur qui est égale au carré du module de la fonction d’onde. A un instant t donné, il vient

|ψ(x,t)|²=dP/dx ???

la fonction d’onde ψ est un vecteur d’un espace de Hilbert des états possibles du système. Le carré de sa norme représente la densité volumique de probabilité de présence de la particule

Oui, à condition que la fonction d’onde $\psi$ soit normalisée.

|ψ(r,t)|²=dP/dV, dV étant associé à un élément de volume infinitésimal. La probabilité de présence élémentaire de la particule à l’intérieur de ce volume est donc dP=|ψ|²dV ???

Attention aux abus d’écriture, a fortiori quand on est pas à l’aise avec les concepts rencontrés. $dP/dV$ n’est pas forcément un objet bien défini. Par contre ce qui est important est que la probabilité de présence dans un volume est l’intégrale de $|\psi|^2$ sur ce volume (encore une fois si $\psi$ est normalisée). $|\psi|^2$ est la densité de probabilité.

Oui, mais t’as vraiment pas besoin de t’embêter avec des $dP/dx$ explicitement, ce qui t’es demandé est la densité de probabilité donc simplement $|\psi|^2$ avec $\psi$ normalisée. C’est tout, pas la peine de chercher plus compliqué et d’écrire des différentielles. Par ailleurs, le fait qu’il n’y a qu’une seule direction spatiale qui est considérée n’est pas très important.

PS: on a un système pour écrire des maths sur le site.

Merci pour ta réponse! Mais bon, concrètement, comment je réponds à ma question ?

Ben là c’est un peu à toi de faire un effort tout de même. Ta question demande si la densité de probabilité de présence dans l’espace de l’électron est stationnaire. Tu avais fais erreur sur ce qu’est la densité de probabilité, mais ce point devrait maintenant être éclairci. C’est à toi de conclure maintenant ce que tu as besoin de calculer…

La densité de probabilité de présence dans l’espace de l’électron est donc donnée par le module carré de la fonction d’onde ∣ψ(x,t∣² (supposée normalisée. Dans le calcul (que j’ai refait), il apparaît 2 termes dépendants de t car on considère 2 niveaux d’énergie distinctes E0 et E1. Donc la densité de probabilité de présence dans l’espace de l’électron est modifiée au cours du temps ! (pour que la densité de présence soit stationnaire, il eu fallu que E0=E1)

Pas de réponse ? C’est bien cela ?

Sans le résultat de ton calcul difficile de trancher définitivement, mais oui c’est le bon raisonnement.

j’ai trouvé (sauf erreur): |ψ(x,t)|²=c0².φ0(x)² + c0.φ0(x).c1.φ1(x).exp[i(E0-E1).t/hbar] + c1.φ1(x).c0.φ0(x) + c1.φ1(x)c1.φ1.exp[i(E1-E0).t/hbar]