dénombrement

bonjour, mon problème est que je trouve deux façons plausibles de résoudre un exercice et je n’arrive pas à trouver laquelle est correcte.

l’exercice :

Soit n ∈ N∗. Exprimer en fonction de la décomposition en facteurs premiers de n le nombre de couples (x, y) ∈ N∗2 tels que n = xy et x ∧ y = 1.

méthode 1 :

Soit n =(produit des pi alpha i) la décomposition en facteurs premiers de n. Comme n = xy, on a n | xy soit ∀i ∈ {1, 2, …, k}, pi | xy. Or, x ∧ y = 1. Donc, d’après le théorème de Gauss, soit pi | x soit pi | y. Donc les décompositions en facteurs premiers de x et de y sont de la forme : x = produit des pi alpha i pour i∈A y= produit des pi alphai pour i ∈ {1, 2, …, k}\A (privé de A) avec A un sous ensemble de {1, 2, …, k}. De plus on vérifie facilement que de tels x et y vérifient les conditions de l’énoncé. Il existe donc une bijection entre les couples (x, y) vérifiant l’énoncé et les sous ensembles {1, . . . , k}, il y en a donc le même nombre. Or on sait qu’il existe 2 puissance k sous ensembles de {1, 2…k} (pour chaque élément, il existe 2 possibilités : soit ce dernier appartient au sous ensemble soit il n’y appartient pas), on en déduit qu’il existe donc 2 puissance k tels couples (x, y)

méthode 2: n=p1p2p3…*pk il y a k-1 signes fois , je dois en garder 1 pour former un couple; il y a donc (1 parmi k) façon de crée un couple (k et pas k-1 puisque x ou y peut être égale a 0) et à chaque façons, je peux prendre (x,y) ou (y,x) ; donc je multiplie par 2 le nombre de couple soit maintenant 2k couples possibles

deux méthodes, deux résultats différents… aidez-moi!

Prenons le nombre 2x3x5x7x11 ; A priori, dans la 2ème méthode, tu envisages les couples (1, 2x3x5x7x11), (2, 3x5x7x11), (2x3, 5x7x11) ,(2x3x5, 7x11) ,(2x3x5x7, 11) et les couples obtenus en intervertissant les 2 nombres. Tu n’envisages pas (2x11, 3x5x7) par exemple.

Donc la méthode 2 est fausse. Dans cette méthode 2, tu considères aussi que tous les exposants alpha_i sont égaux à 1, mais ça, ce n’est pas un problème.

D’ailleurs, dans ton message, tu as expliqué en détail la méthode 1, tu la maitrises, chaque étape du raisonnement est sous contrôle. Alors que pour la méthode 2, tu as bâclé l’explication, parce que tu sentais qu’elle était foireuse.

Bonjour,

Je ne vois pas d’erreur dans le premier raisonnement proposé, je pense qu’il est correct. Et comme le dit @elegance, un bon indice de ce fait est que chaque argument est correctement étayé et on peut suivre pas à pas chaque déduction, sans que rien ne semble flou. Les assertions sont correctement quantifiées (pour tout, il existe, etc.) et logiquement reliées entre elles. Seul élément qui pourrait être précisé : qui est l’entier $k$ (on voit assez aisément que c’est le nombre de nombres premiers distincts qui apparaissent dans la décomposition de $n$, mais il serait de bon goût de le mentionner).

En revanche, pour la méthode 2, j’avoue ne simplement pas avoir compris le raisonnement proposé.

Petite remarque concernant la présentation de ton message : Zeste de Savoir permet de mettre en forme des mathématiques en utilisant de façon élémentaire la syntaxe $\LaTeX$, essaye de modifier ton premier post pour le rendre plus lisible. Tout est documenté ici.

merci beaucoup pour vos réponses, je comprends maintenant que la deuxième méthode ne prends pas en compte plein de cas, je vais également me renseigner pour mieux présenter mes prochains messages!