Limite d'intervaux

(Bah quoi, on dit des chacaux ?)

L'auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Auteur du sujet

Dîtes donc,

Y a un truc qui me chagrine, vous savez comment on démontre que,

  • Pour $(x_n)$ une suite strictement croissante qui tend vers $x$,

$\lim_{n\rightarrow \infty} [a,x_n] = [a,x[$

  • Pour $(x_n)$ une suite strictement décroissante qui tend vers $x$,

$\lim_{n\rightarrow \infty} [a,x_n] = [a,x]$

Disons que la deuxième je veux bien, mais la première je vois pas pourquoi x est exclu (le pauvre).

EDIT : Hmm, je crois que j'entrevois une solution, si on admet que pour une suite $(x_n)$ strictement croissante, $\lim_{n\rightarrow \infty} [a,x_n] = \bigcup _\mathbb{N} [a,x_n]$

Alors on peut montrer par l'absurde que si $x$ est inclu dans la limite, alors il existe un n tel que $x \epsilon [a,x_n]$, ce qui implique (par croissance de la suite) que $x_n = x$, et ça contredit l'hypothèse de croissance stricte de la suite…

Édité par Coyote

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Bonsoir,

Effectivement, ton raisonnement me semble correct. Néanmoins, une ou deux remarques concernant ce que tu as écrit.

Tu écris que « si l'on admet que pour une suite $(x_n)$ strictement croissante, $\lim_{n\to+\infty} [a, x_n] = \bigcup_{n\in\mathbb N} [a, x_n]$ », tu arrives à conclure. Sauf erreur de ma part, il n'y a rien à admettre ici. Par définition, la limite d'une suite croissante d'ensembles est égale à l'union de tous les ensembles de la suite. Et de même, la limite d'une suite décroissante d'ensembles est égale à l'intersection de tous les ensembles de la suite.

Deuxième remarque pour approfondir un peu ton argument. Pour montrer la première assertion, je pense qu'on peut s'en sortir sans raisonner par l'absurde. L'inclusion $\lim_n [a, x_n] \subset [a, x[$ est facile, car chaque $x_n\in[a, x[$ car $x_n<x$ sinon la suite ne pourrait pas tendre vers $x$. Pour l'inclusion réciproque, considérons $\alpha\in [a, x[$. Comme la suite $(x_n)$ tend vers $x$ et est strictement croissante, il existe $n\in\mathbb N$ tel que $x_n\in]\alpha, x[$. Donc $\alpha\in[a, x_n[$, et donc $\alpha$ est bien dans l'union des $[a, x_n]$.

Auteur du sujet

Ah ! Merci pour ta réponse, je ne savais pas que c'étais une définition, je cherchais un peu partout la définition d'une limite d'intervalles justement sans trouver… (du coup je me suis appuyé sur les propriétés des probas)

Remarque, comment est-ce qu'on définirait la limite si la suite n'était pas monotone, du coup ? Par exemple - pour rester sur les intervalles : $[a, b + \frac{sin(n)}{n}]$ ?

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Il faut faire appel à une notion plus générale, que l'on appelle la limite d'ensembles. De même qu'il y a une notion de limite pour les suites et pour les intervalles, on peut aussi trouver des limites, en un certain sens, pour les suites d'ensembles.

Mais la définition un peu plus compliquée, parce qu'une suite d'ensembles n'a pas toujours une limite (ça, on s'y attendait un peu). On définit deux notions intermédiaires, appelées la limite supérieure (abrégée limsup) et la limite inférieure (abgrégée liminf). Pour ces deux définitions, je me donne une suite $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ d'ensembles. La limite supérieure de cette suite est l'ensemble suivant : $\limsup_{n\to+\infty} A_n = \bigcap_{n\ge0}\bigcup_{k\ge n} A_k$. Autrement dit, la limsup de la suite $(A_n)_n$ est l'ensemble des éléments qui sont dans une infinité d'ensembles $A_n$. La limite inférieure de $(A_n)_n$ est l'ensemble $\liminf_{n\to+\infty} A_n = \bigcup_{n\ge0}\bigcap_{k\ge n} A_k$, qui est l'ensemble des éléments qui sont dans tous les $A_n$ à partir d'un certain rang.

Évidemment, la limsup et la liminf ne sont pas toujours égales. Lorsqu'elles le sont, on dit que la suite $(A_n)_n$ admet une limite, qui est égale à l'ensemble limsup (et aussi à l'ensemble liminf). Ce qu'il faut bien comprendre ici, c'est que la limsup, la liminf et la limite sont des ensembles.

Pour ton exemple $[a, b + \frac{\sin n}{n}]$, il faut calculer la liminf, la limsup et voir si les deux sont égales. Si oui, la suite d'intervalles admet une limite, et sinon… ben elle n'en admet pas. :p Essaye de le faire, pour voir ce que ça donne. Faire un dessin devrait t'aider, comme souvent.

Édité par c_pages

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