Gas de photons et photons virtuels

Bonjour,

J'ai une expérience de pensée à vous proposer.

On sait que quand on a deux plaque conductrices non chargées disposées de manière parallèle, il y a une force attractive entre elles, d'autant plus forte que la distance les séparant est petite, à cause du nombre de longueurs d'ondes autorisées pour les photons virtuels entre les deux plaques. Il y a d'autres manières de l'expliquer, cf. l'effet Casimir).

Maintenant, au lieu de deux plaques, je considère un parallélépipède rectangle, donc l'une des faces peut se déplacer de manière parfaite (sans frottements). Les faces intérieures de ce pavé sont couvertes de miroirs parfaits (100% de réflexion). L'effet Casimir devrait, si je ne me trompe pas, attirer ce coté qui peut se déplacer.

Maintenant, on considère qu'un nombre N de photons a été coincé dans le pavé d'une manière ou d'une autre. Puisque les faces intérieures sont couvertes de miroirs, on a donc un gaz de photons, qui va exercer une pression sur ces faces, et qui va donc oeuvrer vers un éloignement de la face qui peut se déplacer.

Ma question est : Y a-t-il une configuration (nombre de photons, géométrie, …) qui permette d'être à l'équilibre mécanique ? Je n'ai pas du tout la réponse à cette question, donc n'hésitez pas à proposer.

Je vais certainement dire une grosse connerie, mais l'effet Casimir provient justement du fait que la pression du gaz de photons virtuels dans la boite est inférieure à celle du gaz de photons virtuels à l'extérieur. Et plus la distance entre les parois de la boite est petite, plus la pression du gaz de photons virtuels emprisonné baisse. Donc l'équilibre mécanique, c'est quand les deux plaques se collent l'une contre l'autre et que le gaz de photons virtuels dans la boite a disparu.

Je suis d'accord avec les photons virtuels. L'expérience serait d'en ajouter des réels dans la boîte (ce qui est impossible en vrai), pour contrecarrer l'effet. Et je me demandais comment justement contrecarrer l'effet de manière exact. Si il fallait une distribution d'énergie spécifique, ou alors si seule la densité est importante, ou autre.

Salut,

À prendre avec des pincettes.

L'expérience serait d'en ajouter des réels dans la boîte (ce qui est impossible en vrai), pour contrecarrer l'effet.

Les photons qui n'ont pas de longueur d'onde "valide" vont bêtement s'interférer.

Si tu ajoutes des photons à la bonne longueur d'onde, tu introduis de l'énergie dans le système. Comme tu n'autorises pas le chauffage via absorption, il est logique que tu maintiennes les plaques à ce qui pourrait s'appeler une "énergie potentielle de casimir" plus élevée que si tu ne fais rien.

Et est-ce qu'il y aurait un moyen de calculer une distance d´équilibre ?

Elle dépendrait je suppose de la densité de photon en fonction de la longueur d'onde pour la pression électromagnétique. Pour l'effet Casimir, elle ne dépendrait apparamment que de l'inverse de la distance à la puissance 4, selon l'équation

$$P_{Casimir}=\frac{F}{A}=-\frac{\hbar c\pi^2}{240a^4}$$

Selon le même wikipedia, la pression des photons suit l'équation

$$P_{photons}=\frac{2E_f}{c}cos^2(\alpha)$$

Avec $E_f$ qui est le flux d'énergie et $\alpha$ l'angle d'incidence. En supposant une direction aléatoire des photons, et suffisament de photons, le terme en $\alpha$ s'intègrerait très bien. À voir si c'est raisonnable… Par contre, le flux d'énergie (W/m2), pour l'instant, je sèche.

Des idées ? Des failles dans mon raisonnement ?

En faite le problème c'est que les photons que tu introduis ne peuvent plus exister quand ta plaque se déplace, ils doivent changer de modes.

J'ai quand même tendance à penser qu'ils n'ont aucune influence, il vont changer de modes jusqu'à avoir des vecteurs d'ondes alignés avec ta plaque, mais ça ne change rien à l'énergie apportée par eux au système : quel la plaque soit à 1m ou à 10m, tu auras toujours la même quantité d'énergie avec tes photons.

A la différence du vide qui lui a des modes en plus ou en moins selon la distance, ce qui conduit à une énergie potentielle qui varie avec la distance et qui conduit à ta force.

Edit: En partant dans la voie que tu as prises, pour déterminer l'irradiance, il faut décider de ce que tu mets comme photons entre tes plaques. En soi c'est un peu ce que tu veux.

Je ne suis pas sûr de te suivre. Changer de mode voudrait dire changer d'énergie, et puisque dans mes hypothèses, il n'y a pas d'absorption/réémission, je ne vois pas comment c'est possible. Je rate quelque chose?

Je verrai plus tard si j'ai le temps d'essayer le calcul avec quelques distributions, pour voir ce que ça donne.

Non, tu peux changer de mode sans changer d'énergie, il y a plusieurs vecteurs d'onde qui donnent la même énergie.

On arrive dans des domaines que je ne maîtrise pas, mais ce que tu dis, c'est que les photons ont une infinité d'états dégénérés, et peuvent donc adapter leur mode à n'importe quelle configuration géométrique ?

Chaque mode du champs est reperé par un vecteur d'onde $\vec{k}$ et une polarisation $\lambda$, si tu as $N$ photons dans ce mode, l'énergie porté par ce mode est $\hbar c k (N+\frac{1}{2})$ où $k$ est la norme de $\vec{k}$.

La condition au limite périodique va imposer que la composante de $\vec{k}$ dans la direction séparant tes plaques soit multiple de $\frac{\pi}{a}$ où $a$ est la séparation de tes plaques.

Du coup j'ai tendance à penser que ces $N$ photons qui ne peuvent plus être dans ce mode lorsque $a$ change (si tu es multiple de $\frac{\pi}{a}$, peu de chance que tu le sois de $\frac{\pi}{a+\delta}$) vont changer de mode de sorte que $k$ reste identique et que sa composante dans la direction des plaques soit toujours le même multiple (une vague intuition d'adiabaticité, ça bouge mais pas trop, ca change de toute facon rien à la problématique qui se profile, c.f. suite).

Par contre j'ai dit une bêtise, dans cette approche, la tendance est que les $\vec{k}$ s'aligne avec la distance séparant les plaques (pas s'éloigne). Du coup je suis un peu gêné par le mode $\vec{k}=\frac{\pi}{a}\vec{x}$ ($\vec{x}$ l'axe séparant les plaques), son énergie est plus petite que l'énergie minimal de n'importe quel mode ayant une composante selon cet axe quand il y a rapprochement. Du coup je vois trois possibilités : soit il se projette sur un mode sans composante selon cet axe, soit il y a une non linéarité et N photons d'une énergie E deviennent M photons d'une énergie F de tel sorte que NE=MF, soit il y a couplage avec un des modes extérieur à la boîte, i.e. le photon traverse le miroir* (c'est à dire une perte d'énergie).

Je pense qu'il faudrait poser le problème pour avoir une idée plus précise de la dynamique (i.e. poser l'Hamiltonien et étudier l'évolution des modes propres et leurs couplages).

PS: Je suis aussi gêné par la conservation du moment dans mon approche actuelle, du coup la thèse non-linéarité ou perte est peut-être une piste plus viable.

D'ailleurs, il ne serait pas pertinent de faire une approche purement classique du problème avant d'ajouter l'influence des fluctuations du vide ?

Je veux dire, il se passe quoi si on part d'une cavité (parfaite et infinie selon 2 axes) de longueur $d$ qui héberge une onde (disons plane pour commencer) et qu'on modifie la taille de la cavité à $d+\delta$ ?

C'est impressionnant, je ne m'attendais pas à arriver à presque 1W !

Par contre, je ne comprends toujours pas trop comment les photons vont changer de mode. Tu sembles exclure de toi-même le premier cas.

Dans le deuxième, je vois un processus évident qui est l'absorption/réémission, mais puisque les miroirs sont efficace à 100%, et que dans le calcul suivant, la pression de l'air n'est pas présente, on est dans le vide. Du coup, ce processus me semble impossible. Pareil pour le couplage, puisque le miroir a une efficacité de 100 %, il ne peut pas être traversé. Je rate quelque chose ?

De manière purement classique, il y a déjà un problème avec un réflexion à 100%.

Disons que j'injecte une onde plane au niveau du premier miroir en direction du second, l'onde se propage et revient de sorte qu'au moment où elle repart en direction du second miroir son amplitude complexe (j'enlève la dépendance temporelle, elle ne change rien au calcul) est $r^2 e^{\imath k2L}$ avec $r$ unitaire (réflexion identique et parfaite de chaque miroir).

Répètes le raisonnement $N$ fois et sommes les amplitudes, il serait tentant de passer à la limite, sauf qu'avec $r$ unitaire ce n'est pas possible. J'ai donc tendance à penser que ton miroir a nécessairement des pertes (absorption ou transmission).

1W ca peut paraitre beaucoup mais si on regarde le problème d'un coter énergétique :

$N \times h \nu $ On obtiens 12keV… (à la louche). Pour donner un ordre d'idée un électron avec une énergie cinétique de 12keV va à 20% de la vitesse de la lumiere. Bref pas grand chose