La saga des nombres - Vers l'infini et au-delà

Bonjour, Je mets en bêta mon tuto de maths, qui aborde plusieurs sujets.

Au départ, je suis parti sans plan précis, avec pour idée de parler des ensembles de nombres, et dès qu'une notion me semblait s'insérer de manière logique dans le déroulement du tuto, j'en parle un peu. Ainsi je vais parler des équations, des infinis de Cantor, des puissances, racines, logarithmes… J'essaye aussi par ce biais d'introduire en douceur le langage mathématique, le principe des démonstrations,…

Mon but est que ce tuto soit un tuto de découverte des maths, qui introduise plusieurs notions, afin de permettre au lecteur d'aller ensuite aborder d'autres ressources plus approfondies.

Pour l'instant, les parties assez avancées sont la partie 1 (nombres entiers) et la partie 4 (nombres complexes). Les autres sont à l'état brouillon, ou pas commencées.

Je le mets en bêta pour avoir votre avis sur la pertinence de l'approche, sur ce qu'on pourrait ajouter, enlever… et toute autre remarque possible.

Merci d'avance pour votre aide

Juste pour dire que le LaTeX dans les titres, c'est une fonctionnalité qui pose des tas de problèmes et qui risque d'être supprimée à court terme. Tu devrais changer le titre, du coup.

J'aime le titre :-). Mais ça a tellement d'épaisseur que je sais pas par quoi commencer. Est-ce qu'il y a une partie que tu aimerais qu'on lise en priorité ?

Juste rapidement, je vois que tu dis que $\sqrt{-15}$ a les mêmes propriétés que $\sqrt{15}$ mais en fait non, quand on fait des racines de nombres négatifs (disons que ça a un sens) et bien on perd la propriété $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ (avec $a=b=-1$ c'est clair). Du coup il faut faire un peu attention à ces écritures, et c'est une raison pour laquelle on l'a abandonné. Elle est finalement plus ambigüe qu'autre chose.

Salut,

J'ai lu une grosse partie du tutoriel, j'aime beaucoup le style, ça se lit vraiment très bien… Rien de très choquant pour ma part, mais je suis loin d'être un grand connaisseur des maths.

@grugru : c'etait bien mon but : rendre les maths agréables à lire
@Holosmos : tu confirmes une de mes craintes, le tuto est trop long et risque de décourager les lecteurs, surtout les débutants, qui ne sauront pas trop ou chercher une info donnée. J'ai pensé à couper le tuto en deux (genre un jusqu'aux réels et un sur les complexes et quaternions), le deuxième demandant l'autre comme prérequis. Ce sera mieux je pense.

Pour l'instant, il y a surtout 2 parties bien avancées. J'ai d'ailleurs mis à jour la bêta pour enlever les extraits encore à l'état embryonnaire pour pas gêner la lecture.
Du coup, je dirai priorité sur la partie 1 (Comptons jusqu'à l'infini), pour pouvoir envoyer cette partie en validation partielle (quand ce sera dispo).

Il y a par exemple la partie sur la divisibilité où je n'ai pas encore de plan défini, pour essayer de présenter ça de manière originale. J'ai pensé à présenter le critère de divisibilité par 3: c'est un truc et astuce qu'on te donne au collège, j'avais été surpris quand j'avais su que ça se démontrait. Si vous avez d'autres idées, pour une approche de type découverte…

Sinon, pour $\sqrt{-15}$, j'utilise cette notation dans le chapitre parce qu'il est orienté historique, mais dès le prochain chapitre je reviendrai à une notation plus orthodoxe. Mais j'ai effectivement oublié de rajouter un gros warning.

@ Spacefox : Pour le titre c'est dommage, je l'aimais bien aussi celui-là :). Est-ce que cette restriction s'appliquera aussi aux titres des parties, chapitres et extraits ?

Je ne vois pas en quoi ne pas utiliser LaTeX t’oblige à changer de titre.

De 1 à √2 - En passant par 0, i, x et l'infini

Bon ok, c’est un peu moins beau mais ça passe. Tu peux même utiliser ∞.

Je viens de lire l'essentiel de ton tuto, sans m'appesantir sur les sections juste ébauchées.

Il y a certaines choses à revoir, essentiellement sur l'orthographe et la typographie (au sens très général de ce terme, je pense notamment à l'utilisation abusive des blocs de citation), et un certain nombre d'endroits sont bogués (les images, beaucoup de codes MathML), mais dans l'ensemble, le tuto est intéressant. Il aborde de nombreux points de l'arithmétique en douceur et l'air de ne pas y toucher, et même si j'aurais quelques « retouches » à faire sur certaines formulations ou l'ordre de certaines sections, globalement, le tuto est efficace.

Du coup, la question qui se pose vraiment pour moi, c'est est-ce que mon propre tuto a encore une utilité (et laquelle) ? C'est une question sérieuse, que je te pose à toi mais aussi aux autres, qui auraient lu les deux tutos.

@Dominus Carnufex : Oui, oui, oui et mille fois oui.

Si on suit le raisonnement que ton tutoriel est inutile alors il faut m'expliquer pourquoi tu trouves des dizaines de livres sur l'algèbre avec le même contenu mais un auteur différent.

Au contraire, il existe de nombreuses approches pour les mathématiques et avoir des approches variées ne peut être qu'intéressant.

Plop,

Je lis doucement la partie un, voici quelques remarques :

• Dans le premier chapitre tu dis qu'une bijection est une "correspondance un à un", est-ce que c'est une traduction littérale de l'anglais ? Je ne crois pas avoir déjà vu cette expression, par contre j'utilise régulièrement le mot "univoque", peut-être que c'est plus joli ?
• Pas de petite histoire sur l'invention du zéro ?
• Au chapitre 2 tu dis qu'on formalise pour être rigoureux … c'est pas forcément super clair. Je dirai plutôt que c'est pour avoir un langage non ambigu contrairement à tous ceux qu'on connait. En français plein de phrases n'ont aucun sens mais ne choque pas "Je mens.", "Le temps s'écoule lentement.", etc.
• Tu dis que l'associativité c'est vérifier $a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)$ mais en fait c'est si $(a+b)+c = a+(b+c)$ qu'on définit $a+b+c$ par cette valeur.
• Chapitre 3, tu dis qu'il est "interdit de diviser par $0$". Je trouve ça un peu autoritaire. Ce serait plus pédagogique (surtout que tu le montres juste avant) de dire que ça n'a pas de sens, et donc qu'on ne le fait pas dans ce cadre là. (Parce qu'en fait, diviser par $0$ ça n'a rien de gênant si on travail avec l'infini).

Je suis en cours de lecture mais l'idée de ce tuto me plaît beaucoup. Je réfléchis souvent à réaliser un big tuto sur l'histoire des math en partant de la préhistoire car, comme toi, je pense qu'on peut parler de Math par d'autres canaux, notamment par l'Histoire. Pour ton tout premier chapitre, à la question "qu'est-ce qu'un nombre" il peut être intéressant d'expliquer qu'il a longtemps s'agit d'un véritable problème. Il y a le problème du zéro évoqué par Holosmos, mais il faut aussi savoir que même le nombre 1 n'a pas toujours eu le statut de nombre chez les grecs (un nombre exprimant une quantité, celle-ci ne peut donc s'exprimer qu'à partir du moment où il y a plusieurs éléments). De même, mais ce n'est qu'une idée en l'air, pourquoi ne pas rappeler que, biologiquement, l'homme ne reconnaît les quantités que jusqu'à 4 ou 5. Après, il doit opérer des regroupements et donc commencer à compter. Cela explique notamment le fait que certains peuples n'ont pas de mots pour désigner les quantités supérieures à 4, hormis des mots comme "beaucoup" ou "plusieurs".

Hello, Mise à jour de la bêta avec en nouveautés :

• je vais couper le tuto en deux, pour être plus modulaire. Les parties sur les complexes et quaternions seront dans un tuto à part. D'où le changement de titre : "La saga des nombres - Vers l'infini et au-delà", qui sera suivi de "La saga des nombres II - Au-delà du réel"
• les chapitres I.4 (la divisibilité) et I.5 (la récurrence) ont été complétées (La I.4 manque encore un peu de mise en forme). La partie I est donc grosso modo terminée, à l'exception des images.
• j'ai supprimé le chapitre I.6, où je comptais parler un peu plus de l'axiomatisation de Peano. Au lieu de cela, j'ai mis un lien vers un cours sur le sujet.
  En fait je ferai ça pour plusieurs sujets. J'essaye dans mon tuto d'introduire plusieurs concepts, et je renverrais le lecteur à des docs externes ou tutos s'il veut en savoir plus. J'axe plutôt mon tuto comme un cours de découverte (ou redécouverte) des maths.

@Holosmos : j'ai rajouté des précisions sur l'associativité, la formalisation, et la division par 0 (d'après la page wiki, aucune tentative n'a vraiment permis de donner un sens à la division par 0 d'ailleurs). Pour la "correspondance un à un", je la trouve plus explicite pour un lecteur débutant, meme si c'est surement une traduction involontaire de l'anglais. Je l'ai d'ailleurs mis entre guillemets, je préciserai plus quand je reparlerai de bijection (dans le chapitre sur les infinis).

Il y a certaines choses à revoir, essentiellement sur l'orthographe et la typographie (au sens très général de ce terme, je pense notamment à l'utilisation abusive des blocs de citation)

J'utilise les blocs de citation pour différencier certaines parties mathématiques du texte, pour aérer la mise en page. C'est le moyen le plus discret que j'ai trouvé, par rapport aux autres blocs existants.

Il aborde de nombreux points de l'arithmétique en douceur et l'air de ne pas y toucher, et même si j'aurais quelques « retouches » à faire sur certaines formulations ou l'ordre de certaines sections, globalement, le tuto est efficace.

Toutes les retouches sont bonnes à prendre. Pour l'ordre des sujets abordés, comme je l'ai expliqué, je suis parti sans plan précis, et dès qu'une notion me semble s'insérer de manière logique dans le déroulement du tuto, j'en parle un peu. Ca fait peut-etre un peu déstructuré mais je me suis dit que ça faisait un tuto qui suivait une certaine "logique", ça suit un certain precessus mental (le mien au moins) Je vais peut-etre mettre une conclusion en fin de chaque partie pour récapituler les points qui ont été abordés.

Il y a le problème du zéro évoqué par Holosmos, mais il faut aussi savoir que même le nombre 1 n'a pas toujours eu le statut de nombre chez les grecs (un nombre exprimant une quantité, celle-ci ne peut donc s'exprimer qu'à partir du moment où il y a plusieurs éléments). De même, mais ce n'est qu'une idée en l'air, pourquoi ne pas rappeler que, biologiquement, l'homme ne reconnaît les quantités que jusqu'à 4 ou 5. Après, il doit opérer des regroupements et donc commencer à compter. Cela explique notamment le fait que certains peuples n'ont pas de mots pour désigner les quantités supérieures à 4, hormis des mots comme "beaucoup" ou "plusieurs".

Je prends note, c'est effectivement intéressant à aborder. Je le ferai surement dans la conclusion, ou je repose en miroir la question "Qu'est-ce qu'un nombre" mais d'un point de vue plus "philosophique".

Bah la géométrie projective peut être vue comme donnant justement un sens à la division par zéro.

Brièvement, on peut construire un espace projectif à partir d'un espace affine en lui rajoutant un hyper-plan à l'infini.

Concrètement, on peut par exemple considérer la droite réelle $\mathbf{R}$. Je lui rajoute un point à l'infini $\infty$ et je dis que $\mathbf{RP}^1$ est l'ensemble constitué des réels et du point à l'infini. De plus, si $a\in\mathbf{RP}^1$ est réel alors je le représente par le couple (de coordonnées homogènes) $(a:1)$ et si $a$ est infini je le représente par $(1:0)$.

Les calculs sur les coordonnées homogènes sont les mêmes que sur les coordonnées que l'on connaît à l'exception près que $(a:b) = (c:d)$ si, et seulement si, il existe $\lambda\in \mathbf{R}^*$ tel que $a = \lambda c$ et $b=\lambda d$.

Lorsque l'on fixe la seconde coordonnée à $1$ on dit qu'on se place sur la carte affine $y=1$ ($y$ comme le nom de la seconde coordonnée). Mais maintenant, si on considère $(1:0)$ (ou plus généralement $(a:0)$ avec $a$ non nul) et bien on peut se placer sur la carte affine $y=1$ en divisant par $0$, i.e. prendre le point à l'infini.

On a alors les conventions de calculs (logiques et utiles) : $$\frac{0}{0} =1, \; \frac{1}{0} = \infty.$$

Géométriquement, passer sur la carte affine $y=1$ pour le point projectif $(a:b)$ revient à chercher le point d'intersection de la droite de vecteur directeur $(a,b)$ avec la droite $y=1$. Mais si $b=0$ cela signifie que la droite engendrée par $(a,b)$ est parallèle à $y=1$ et donc elles se coupent à l'infini.