Ordre d'interférence et conditions d'achromaticité

Hum alors on a pas le schéma mais si j’interprète bien ta difference de marche en réalité tu as une fente vide et l'autre remplis d'un materiaux d'indice n ? Pour savoir si c'est + ou - il suffit de revenir à la définition de la difference de marche qui est la difference de chemin optique entre tes 2 rayons. En fonction si la lame est sur le rayon du "haut" ou du "bas" tu auras un + ou un -. En pratique ça changera pas grand chose, juste que si tu changes le signe tu obtiens la même figure d’interférence mais symétrique par rapport à l'origine ^^. Ici l'effet de ta lame est que ta figure d’interférence ne sera pas centrée sur x=0

Donc quand tu fais $\frac{\delta}{\lambda}=n$ avec n entier en fait tu imposes à $p$ d’être un nombre entier de fois la longueur d'onde. Tu garanties donc une interférence constructive. Pour n=0 c'est la même chose. mais c'est même plus fort, tu garantie en fait que la difference de marche est nul $(\delta=\lambda \times 0 = 0 )$! Ça veux dire qu'en $x_1$ tu fais interférer constructivement les ondes qui sont parties au même moment de la source. $\ x_1$ correspond au centre de la seul frange d’interférence sans difference de marche. C'est le centre de ta figure d’interférence. On voit ici que $x_1 \neq 0$, en effet c'est à cause de la lame ! Par contre si tu prends $e=0$ tu remarques que $x_1=0$, si la lame disparais la figure est bien centré sur l'origine.

En fait comme ton déphasage dépend de la longueur d'ondes donc tu vas avoir une figure d’interférence différente pour chaque couleur. Et comme en effet (tu l'as remarqué) vous utilisez une lumiere blanche (qui contient toute les couleurs), vous allez observer sur l’écran une superposition de la figure d’interférence pour chaque couleur du spectre (ici une infinité), aucune ne sera vraiment au même endroit, un vrai bazar ;). En pratique tu va voir en $x_1$ une bande blanche puis autour des bandes de toute les couleurs et plus tu vas t’éloigner plus ça va tirer sur un fondu gris : le mélange de toute les couleurs et d'interferance positive et négative! Et si on rajoute la dépendance de $n$ en lambda ça devient pire ! Tu remarques que si tu reprend le résultat pour $x_1$, celui ci dépend de lambda (puisqu'il dépend de n) ! Ça veux dire que la frange blanche (achromatique) n'existe plus. Il n'y a a priori plus d'endroit ou toute les couleurs interfère de la même manière.
Bref du coup on est moins exigeant.
Pour comprendre il faut bien interpréter $\frac{dp}{d\lambda}=0$ Quand tu résous cette équation tu obtiens une relation entre $x$ et $\lambda$. Que représente cette relation ? Si tu mes ton expression sous la forme $\lambda(x)$ ca te donne pour un endroit de l’écran la longueur d'onde pour laquelle la variation de déphasage est environs la même quand tu regardes autour de ce $\lambda$ (en effet la dérivé vaut 0, ça veux dire que tu es sur un minimum de variation localement le déphasage est assimilable à une constante). Rq : Il peut y avoir plusieurs lambda différents a priori. Inversement si tu mets ton expression sous la forme $x(\lambda)$ (ce qui t'es demandé quand on te demande $x_2$) tu obtiens pour un $\lambda$ donné l'endroit de l’écran ou tu auras pour les longueurs d'onde autour de $\lambda$ environs le même déphasage.

Au début quand tu calcules p=0 tu cherches l'endroit ou la difference de marche est nul pour une couleur. Il s’avère que si $n$ est indépendant de $\lambda$ on remarque que pour p=0 l’interférence constructive est au même endroit pour toute les couleurs. La frange est alors dite achromatique, en moins barbare : elle n'a pas de couleur puis quelle les contient toute (gné), elle est blanche. Mais $n$ n'est pas indépendant de $\lambda$ du coup cette frange achromatique n'existe plus dans le cas général.

Par contre la fin sur $p_a$ est bizarre. Peux tu donner le sujet précisément ? Car il n'y a plus de frange achromatique à proprement parlé une fois que tu as introduis la dépendance de n en $\lambda$. Après on peut commencer a fixer certain variable etc mais il faudrait le sujet précis pour pas dire de bêtise.

VOila j’espère que c'est clair

Quand tu fais ton calcul de $x_0$ tu le fais à un lambda fixé, la position de ton ordre central dépend de ta longueur d'onde puisque $n$ en dépend (HS: La loi que tu donné $A+\frac{B}{\lambda^2}$ est un modèle simple, il est plus important de retenir qu'il y a une dépendance que de retenir cette formule). Si expérimentalement tu observes bien une teinte blanche au centre, c'est que tu dois avoir une variation assez faible de $x_0$ par rapport à la capacité de résolution de ton oeil, un spectromètre avec une bonne résolution spatiale montrerait surement un spectre différent de celui de la source (et variant dans la bande qui "semble" blanche).

Cette dépendance existe partout, on te fais ici chercher l'endroit où elle est nulle au premier ordre (toujours avec un lambda de référence, typiquement celui au centre du spectre de ta source), en ce point une faible variation de la longueur d'onde n'aura pas d'influence sur l'ordre d'interférence, que ton sujet nomme $p_a$, et donc sur la réduction de l'intensité pour les différentes composantes du spectre (il est réduit si $p_a$ est non entier, mais affecté de la même manière pour le bleu et le rouge, i.e. achromatique).

Plus formellement, on te fais déterminer l'ordre d'interférence et tu dois remarquer que tu peux l'écrire en fonction de deux variables : $p(x,\lambda)$. A partir de là on te donne (ou tu prends) un longueur d'onde de référence $\lambda_c$ et on te fais résoudre deux équations : $p(x,\lambda_c)=0$ et $\partial_\lambda p(x,\lambda_c)=0$, les solutions sont uniques et on les note $x_0$ et $x_a$, on note naturellement, $p_0(\lambda)=p(x_0,\lambda)$ et $p_a(\lambda)=p(x_a,\lambda)$.

A partir de la tu dois remarquer deux chose en écrivant ces deux quantité à l'ordre 1 (en notant $\delta\lambda=\lambda-\lambda_c$) !
$p_0(\lambda)\approx 0+\delta\lambda\times p_0^\prime(\lambda_c)$
$p_a(\lambda)\approx p_a(\lambda_c)+0\times p_a^\prime(\lambda_c)$

De là les deux conclusions, $x_0$ est la position de l'ordre au centre mais dépend de la longueur d'onde, la teinte blanche n'a donc pas le même spectre que la source (même au premier ordre), $x_a$ est la position d'un ordre qui n'est pas nul mais est indépendant la la longueur d’ordre au premier ordre, i.e. il est achromatique.

Alors d'abord les trucs faciles :

C'est toujours comme ça

nop $x_1$ et $x_2$ ont une réalité. $x_1(\lambda)$ détermine l'endroit où la longueur d'onde $\lambda$ interfère de manière constructivement à l'ordre zero. C'est à dire sans difference de marche. Ça devient une simplification si on considère $n$ indépendant de $\lambda$ et donc que $x_1$ est egalement indépendant de lambda. Dans ce cas, et seulement celui-ci dans le cas général, on remarque que la position de l'ordre zero est indépendante de la longueur d'onde. En réalité $n$ dépend de $\lambda$ donc :
tous les ordres zero des différentes longueurs d'ondes sont décalés et donc :
Il n'y a plus une bande achromatique à strictement parler. D'où l'introduction de $x_2$ mais d'ailleurs ton sujet dis bien, je cite :

donc c'est l'endroit ou il y a une bande qui PARAIT achromatique.

C'est bon. Par contre ici :

Il y a un $\frac{1}{\lambda}$ qui c'est fait la malle lors de la factorisation… Mais vu tes résultats ça doit juste être une erreur à l’écriture du post.

Pour l'exo bien entendu ! Mais ce que voulais dire Freedom c'est que pour ta vie de scientifique ce qu'il faut surtout retenir c'est la dépendance de manière général, la loi de Cauchy étant une simplification/cas particulier.

La partie un peu compliqué niveau compréhension maintenant ! Je vais re-dire en partie ce qu'a dit Freedom parce que en effet l'exo tel que tu nous le montres n'est absolument pas l'optimum pour comprendre et des truc sous le tapis. (après faudrait voir le support de cour que tu as mais quand même …).

Bon pour commencer, que l'on soit bien d'accord : il semble que tu as déjà toute les bonnes réponses pour ton exo. Donc ton exo ne semble pas nécessiter de par sa construction de comprendre ce qu'on fait (c'est complétement débile mais c'est comme ça). Donc ce que je vais essayer d'expliquer (et ce que Freedom a déjà expliqué) n'est pas nécessaire pour résoudre l'exercice.

Donc deja je répète : dans la réalité il n'y a plus de de frange achromatique . Je ne sais pas pourquoi ils appellent $\frac{dp}{d\lambda}=0$ :"condition d'achromaticité" mais c'est con, ça donne une relation entre $x$ et $\lambda$ qui ne pointe pas forcement vers un bande qui est achromatique, ni ne semble achromatique. C'est une équation à 2 variables, y a une infinité de solutions, tu ne peux pas extraire une valeur numérique de ça.
Par contre comme l'a dit Freedom on peut prendre $\frac{dp}{d\lambda}=0$ évalué en $\lambda_a$ ET si ce $\lambda_a$ est judicieusement choisis par rapport au spectre de la lampe et la sensibilité de l’œil alors cette équation, qui est juste fonction de $x$ puisque $\lambda=\lambda_a$, pointe vers une bande en $x_a$ ( appelé $x_2$ dans ton sujet) qui semble achromatique.

Que représente ce $x_a$ ( ou $x_2$ c'est la même chose) ?
Comme je l'ais deja dis dans mon premier post $x_a$ représente la position de l’écran ou toutes les longueurs d'onde autour de $\lambda_a$ on le même déphasage et donc vont interférer de la même manière. Et comme une image vaut mille mots :

On voit bien que pour l'intervalle $2 \Delta \lambda$ autour de $\lambda_a$ (ou la dérivée est nulle) globale le déphasage est le même (donc même interférence). Par contre pour une valeur quelconque de $\lambda$. C'est à dire $\lambda_b$ on voit que dans le même intervalle de $2\Delta \lambda$ il y a des grosses différences de déphasage et donc que les longueurs d'ondes de ce domaine vont toutes interférer de manière différente. Donc si la courbure de ta courbe $p(x)$ est pas trop prononcé, tel que tu peux avoir un intervalle $2 \Delta \lambda$ assez large (comparé à la largeur de spectre nécessaire pour percevoir une lumiere blanche) autour du point de dérivée nulle tu percevras une bande achromatique. En fait ton exo te demande de faire le développement théorique et si tu es malin tu peux à la fin de l'exo grâce à la valeur numérique de $x_2$ retrouver la valeur de la longueur d'onde de référence. Mais ce qui est vraiment étrange c'est que l'exo ne te parle pas du tous de cette longueur d'onde … mais comme on te donne $x_2$ on l'impose implicitement (après faudrait voir le support de cours mais bon…). (bon j'ai expliqué la même chose de Freedom hein )

$p$ : c'est le déphasage. Cela te permet d'avoir la position d'un ordre d’interférence précis pour une longueur d'onde donnée. $\frac{dp}{d\lambda}$ (à x fixé, pour jointé avec le sujet sur les dérivées partielles on pourrait plutôt écrire $\frac{\partial p}{\partial \lambda}$ m'enfin …): c'est la variation de déphasage en fonction de la longueur d'onde. Ça te permet pas d'avoir la position en fonction de l'ordre d’interférence

Pour résumer :

ok alors attention $n=1$ c'est pas de l'air, c'est du vide. $n_{air} \approx 1$. Ensuite si tu dis n=1, c'est que n=1 ! Et donc n est indépendant de lambda hein

Et bien oui de manière général tous les materiaux on un n dépendant de $\lambda$ y compris l'air. Mais ce qui est important c'est de savoir si cette dépendance est significative. La dispersion du spectre par l'air est négligeable de maniérè général car la dépendance de n est extrêmement petite.

Oui et non.

"Oui" car ton calcul semble factuellement bon. "Et non" car comme l'a dit Freedom la forme $n=A+\frac{B}{n}$ est un modèle. Est-ce que ça correspond à l'air ? sans doute jusqu’à une certaine approximation. Ensuite il faudra rajouter des termes… !

Ensuite j'aurais pas du parler de dérivée partiel ça t'embrouille peut être. Ici comme x et $\lambda$ sont indep' on s'en fou. Retiens $\frac{dp}{d\lambda}$. Du coup de manière évidente oui \delta(n)$ doit être dérivée.

(Étrange que tu pauses cette question maintenant puisque c'est ce que tu as fait deja au premier post)> @Freedom :

Avec $p(x,\lambda)=\frac{\delta(x,n_0(\lambda),...,n_K(\lambda))}{\lambda}$ tu dois avoir $\partial_{\lambda}p(x,\lambda)=\frac{\Sigma_{k=0}^{k=K} n_k^{\prime}(\lambda)\partial_{n_k}\delta(x,n_O(\lambda),...,n_K(\lambda))-p(x,\lambda)}{\lambda}$.

Avec $n_k(\lambda)=A_k+\frac{B_k}{\lambda^2}$, et $\delta(x,n_0,...,n_K)=\Delta(x)+\Sigma_{k=0}^{k=K}n_k\Delta_k(x)$, tu tombes sur : $\partial_{\lambda}p(x,\lambda)=\frac{\Sigma_{k=0}^{k=K} \frac{-2B_k}{\lambda^3}\Delta_k(x)-p(x,\lambda)}{\lambda}=-\frac{\Delta(x)+\Sigma_{k=0}^{k=K}\left(A_k+\frac{3B_k}{\lambda^2}\right)\Delta_k(x)}{\lambda^2}$

Dans ton cas, $\Delta(x)=e$, $\Delta_0(x)=\frac{ax}{D}$ et $\Delta_1(x)=-e$, tu trouves : $\partial_{\lambda}p(x,\lambda)=-\frac{e+\left(A_0+\frac{3B_0}{\lambda^2}\right)\frac{ax}{D}-\left(A_1+\frac{3B_1}{\lambda^2}\right)e}{\lambda^2}$

C'est proche de ton résultat, à un signe près, tu t'es trompé entre les lignes 3 et 4 quand tu factorises ton $e$, c'est un $+$ devant le $1$ et un $-$ devant le $B$.

Par contre l'intérêt de faire un tel calcul est faible, AMA, à part manipuler des dérivées partielles.

PS: Je garanti pas mon calcul à 100%.
PPS: Tiens, un petit calcul d'interférence avec un milieu à indice variable ça doit être intéressant à faire.

Edit: Pour préciser, je note $\partial_{\lambda}p$ la dérivée partielle de $p$ par rapport à $\lambda$, je trouve la notation moins verbeuse que $\frac{\partial p}{\partial\lambda}$.
Edit2: Le calcul est faux dès le départ, c'est pas $e(n^\prime-1)$ mais $e(n^\prime-n)$ à priori. D'où : $\partial_{\lambda}p(x,\lambda)=-\frac{\left(A_0+\frac{3B_0}{\lambda^2}\right)\left(e+\frac{ax}{D}\right)-\left(A_1+\frac{3B_1}{\lambda^2}\right)e}{\lambda^2}$