Une urne avec plein de boules de plein de couleurs différentes

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Auteur du sujet

Bonjour,

Je suis en train de sécher sur un problème de probabilité qui me semble pourtant simple.

L'idée est que j'ai une urne qui contient n boules de m couleurs équitablement réparties.

Je tire simultanément k boules et je dois savoir quel est la probabilité d'obtenir une certaine répartition de couleur dans ce tirage.

Par exemple avec 6 boules de 3 couleurs différentes, je souhaite savoir quel est la probabilité d'en obtenir 2 d'une couleur et 1 une d'autre couleur en en tirant 3.

Intuitivement, je dirais : on se fiche de la couleur de la première boule tiré, la deuxième doit être de la même couleur que la première (1 chance sur 5) et la dernière doit être d'une couleur différente ce qui est forcément le cas. J'obtiens comme ça une probabilité de 1/5 là où je devrais avoir 3/4.

L'ordre (arbitraire) que je prends ne devrait pas poser de problème, donc j'ai du mal à voir où mon raisonnement est faux.

Merci d'avance

Édité par Coyote

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Staff

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L'ordre a de l'importance à mon avis. Tu peux en effet avoir (couleurs = RVB):

  • R,V ou B,R
  • R,R,V ou B
  • V ou B, R, R

Toi tu as seulement la première, qui est la probabilité de d'abord tirer deux boules de même couleur.

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Auteur du sujet

Au niveau des choix, ce serait plus : * A, A, B * A, B, A ou B

Et du coup, si on monte (par exemple) à 7 couleurs, 10 boules par couleur et 20 tirages on s'en sort vraiment plus.

Spoil (avéré) du problème en lien :

En fait, je pense que je vais repartir sur mon idée de départ de construire l'arbre des choix et fusionnant les branches identiques.

Je trouve ça moins sexy, mais je ferais clairement moins d'erreurs ^^

Je laisse le topic non résolu le temps d'essayer l'autre solution.

Edit : c'est bon, j'ai résolu le problème. Par contre, j'aurais jamais dû regarder les solutions des autres… le deuxième post, c'est quelqu'un qui montre une solution totalement triviale qui doit se coder en moins d'une minute. Là, on a juste envie de se pendre.

Édité par Berdes

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Attention à un point essentiel : tu tires simultanément les boules donc il n'y a pas de notion d'ordre ici.

Je vais adopter un raisonnement de combinatoire pour avoir la probabilité.

D'abord (dans ton exemple), tu dois choisir une première couleur de boules par mi les 3 possibles. Puis tu dois en tirer 2 parmi les boules de cette couleur (si j'ai bien compris, il y a 2 boules de chaque couleur) donc il faut tirer les deux boules de cette couleur. Puis tu dois choisir une autre couleur parmi les deux restantes. Puis en tirer une parmi les deux de cette couleur.

Juste pour la précision, le fait de mettre des puis n'implique pas que j'instaure un ordre dans les boules.

Enfin, il reste à compter le nombre de tirages possibles. Un tirage de 3 boules parmi 6… Ca devrait faire tilt ;) .

Ich bin très occupé cette année. Ne vous étonnez pas si je réponds par intermittence.

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Intuitivement, je dirais : on se fiche de la couleur de la première boule tiré, la deuxième doit être de la même couleur que la première (1 chance sur 5) et la dernière doit être d'une couleur différente ce qui est forcément le cas. J'obtiens comme ça une probabilité de 1/5 là où je devrais avoir 3/4.

L'ordre (arbitraire) que je prends ne devrait pas poser de problème, donc j'ai du mal à voir où mon raisonnement est faux.

(R,B,R) est-un tirage valable pour 2 boules d'une couleur et 1 boule d'une autre couleur. C'est pourtant different de (R,R,B).

EDIT: J'avais pas vu simultanement.

Édité par KFC

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Auteur du sujet

@Goeland-croquand :

Après calcul, ça semble un peu plus complexe : quand il y a plusieurs couleurs avec le même nombre de boule, il faut les faire en même temps. Pour les 3 fois 1 couleur, ça donne : 3 parmi 3 pour le choix des couleurs puis 1 parmi 2 puissance 3 pour piocher 1 boule parmi les 2 dispo pour chaque couleur. On divise ensuite le tout par les 3 parmi 6 tirages possibles.

Ça donne 2/5, ce qui complète parfaitement le 3/5 que l'on obtient en faisant 2/1/0.

En tout cas, merci beaucoup. Finalement ma solution constructive tourne en 0.09s, donc je n'avais pas vraiment besoin d'optimisations, mais je pense que cette solution est plus performante couplé à de la prog dynamique pour générer toutes les possibilités de combinaison de tirage comme ce que je voulais faire au départ.

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