Du bleu devrait faire l'affaire. En inversant rouge et bleu sur celui actuel du coup.
Pour avoir testé, c'est pas mieux. Le bleu a même tendance à mieux se confondre avec le noir.
Approche du sujet/Introduction :
Il est nécessaire d'insister sur l'importance de chapitre
Définitions, propriétés et opérations/Introduction :
Nous allons définir avec rigueur ce que sont les développements limités et deux façons de faire des développements limités
Plutôt : "Nous allons définir avec rigueur ce que sont les développements limités ainsi que deux façons d'en effectuer".
Définitions, propriétés et opérations/Conclusion :
les résultats théoriques concernants les développements
Petit "s" en trop.
afin que vous ayez une idée plus claire sur le sujet
Plutôt : "afin que vous vous fassiez une idée plus claire sur le sujet"
Bonjour à tous !
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Merci. Par contre la formulation "Nous allons définir [..] ainsi que deux façons" j'ai trouvé ça étrange. On définit pas vraiment des procédés, si ?
En effet. C'est parfait comme ça.
Bonjour, c'est un joli travail. Je me permets une remarque d'ordre typographique : en France, l'on emploie les guillemets français, soit « et », plutôt que les guillemets anglais " et ". À noter qu'il faut une espace (si possible insécable) après le guillemet français ouvrant et avant le guillemet français fermant.
Selon le système d'exploitation de l'ordinateur employé, l'accès à ces caractères sera plus ou moins facile, j'en conviens (et je devrais employer des apostrophes courbes dans ce texte, c'est vrai !).
Je constate également qu'après certaines formules hors texte, la police de caractère du texte courant est changée. Ainsi, dans Définitions, propriétés et opérations > Formule de Taylor-Lagrange > Détermination du reste, après que soit affiché la formule hors texte :
Bon courage !
Bonjour quark67,
J'apprécie toujours les remarques typographiques, merci.
Je devrais en effet utiliser les guillemets à la française (ce que je fais sur mes autres écrits), je vais arranger ça.
Pour le problème d'empattement, c'est un bug Markdown que j'ai signalé, mais je n'attends pas de correction rapide donc je corrige (plus ou moins) le problème à la main et au fur et à mesure.
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Dans ta définition de la négligeabilité, tu fixes le voisinage avant. Ce ne serait pas plutôt "On dit que f est négligeable devant g au voisinage de a, ce que l'on note f=oa(g) (ou f=o(g) si a est sous-entendu avant), s'il existe un voisinage V de a et ϵ:V→R tels que" ?
Cette formule du « reste » est appelée formule de Taylor-Lagrange. Le reste Rn est une fonction de h que l'on va déterminer.
Je comprends ce que tu veux dire mais, si Rn est une fonction, l'expression au-dessus n'est pas homogène.
Que tu fixes le voisinage avant ou après ne change rien. Tu peux toujours considérer $f$ sur un voisinage plus petit et c'est une propriété locale qui ne dépend pas de la "différence" entre deux voisinages.
J'ai corrigé pour $R_n$ même si ce n'était pas vraie une erreur. C'est un abus de notation que l'on fait ailleurs : quand tu écris $o(x^2)$ tu n'écris jamais $o(x^2)(h)$. Évite le terme "homogène", on n'est pas en physique ;-).
Bonjour à tous !
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Que tu fixes le voisinage avant ou après ne change rien. Tu peux toujours considérer $f$ sur un voisinage plus petit et c'est une propriété locale qui ne dépend pas de la "différence" entre deux voisinages.
Exact. 
Évite le terme "homogène", on n'est pas en physique ;-).
On dit comment en Maths ?
La lecture de ce qui suit peut être omise en première approche.
Elle va jusqu'à "Inégalité de Taylor-Lagrange" ?
Bah je connais pas d'équivalent. Si ça m'arrivait je dirais une erreur de typage. Ou alors on demande tout simplement ce que c'est $R_n$ (auquel cas je t'aurais dit un réel et une fonction de variable réelle).
Yup
Définitions, propriétés et opérations/Définitions/Fonction négligeable devant une autre :
Je développerais les exemples, au moins en précisant $\epsilon$ et, pourquoi pas, en rappelant la définition de la continuité de $f$ en $1$. J'expliquerais aussi brièvement le dernier point, avec $x^{n}$ et $\exp$.
J'ignore si on peut faire mieux, mais pour l'instant c'est quand même sacrément théorique. Disons que ça contraste avec la partie sur la continuité et la dérivabilité.
Je rajouterais peut-être une phrase de transition à la fin de cette partie.
Définitions, propriétés et opérations/Définitions/Formule de Taylor-Lagrange :
Peut-être préciser, dans la définition, que $h$ est dans $\mathbf R$ ?
Mentionner le polynôme de Taylor ?
Il va s'agir principalement de démontrer que
Le développement limité se fait en $a$ ?
Sinon, tu vas perdre beaucoup de monde dans la démonstration. Au lycée, un changement de variable dans une intégrale ça n'existe pas et aucune étude des polynômes n'est faite : "sera un polynôme de degré n−1 mais ce polynôme et ses n−1 premières dérivées s'annulent pour h=0 et est donc identiquement nul" ne sera pas compris.
Je n'ai pas terminé la partie. Par contre, pour donner une indication du niveau du texte, j'ai eu du mal à comprendre certains passages (pour information, je termine ma Maths Spé). A mon avis, tu peux dire adieu aux lycéens.
Je vais développer un peu plus les exemples. C'est pas grand chose et ça peut vraiment aider.
Pour le $h$, je vais être de mauvaise foi et te dire que $a+h$ est un réel et qu'on a pas fait d'additions avec autre chose que des réels (et c'est plutôt exotique comme action). Mais je le rajoute.
Polynôme de Taylor ? Je connaissais pas (ou j'ai oublié) cette dénomination. Pourquoi je devrais alourdir le texte pour ça ? 
Et, oui, c'est fait en $a$. C'est pas suffisamment clair que c'est au voisinage de $a$ ??
C'est plus abstrait, c'est pour ça qu'un gros morceau je le propose plus ou moins en facultatif.
D'ailleurs une partie de ce texte vient d'un excellent cours d'analyse : celui de Camille Jordan. De beaux arguments viennent de lui (celui de la caractérisation du reste au top dans mon coeur).
Après on retrouve la critique (constructive) qui m'a été faite dans l'ancien topic. Il est vrai que c'est pas un texte facile à lire. Mais tout n'est pas difficile. Un lycéen peut très bien se contenter de lire les résultats et faire les applications. Parce que si on regarde bien, ce qui est difficile, ce sont les démonstrations (normal, c'est le plus intéressant).
Polynôme de Taylor ? Je connaissais pas (ou j'ai oublié) cette dénomination. Pourquoi je devrais alourdir le texte pour ça ?
En fait, je me demandais si exprimer cette égalité avec le symbole de sommation aiderait, et ça m'a fait pensé au polynôme de Taylor. Mais ce n'est peut-être pas nécessaire en effet.
Et, oui, c'est fait en $a$. C'est pas suffisamment clair que c'est au voisinage de $a$ ??
Ben il commence à y avoir pas mal de notations et on passe d'une définition à une démonstration donc on ne sait plus trop où on en est.
D'ailleurs une partie de ce texte vient d'un excellent cours d'analyse : celui de Camille Jordan. De beaux arguments viennent de lui (celui de la caractérisation du reste au top dans mon coeur).
C'est quand même pas le mec qui a fait la réduction de Jordan ?
Un lycéen peut très bien se contenter de lire les résultats et faire les applications. Parce que si on regarde bien, ce qui est difficile, ce sont les démonstrations (normal, c'est le plus intéressant).
C'est juste, mais il manque des applications justement.
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Oui, Jordan c'est un grand bonhomme :).
Comment ça les applications manquent ? :0 J'en ai mis 2 assez consistantes et en principe intéressantes dans la troisième partie.
Alors, en effet, je réfléchis à une seconde grosse partie remplie d'applications. Mais j'ai pas la foi de recommencer à écrire des maths ici. Peut-être que ça viendra plus tard. Surtout que j'ai déjà une bonne application de prête dans mes notes.
Comment ça les applications manquent ? :0 J'en ai mis 2 assez consistantes et en principe intéressantes dans la troisième partie.
Ouep, mais c'est dans la troisième partie. Alors le terme "application" n'est peut-être pas adéquate. Plutôt "illustration". Ce que tu as fait dans l'approche, avec les graphes, est un très bon équilibre théorie/exemples.
Edit : j'apprécie tes ajouts. Quelques remarques :
Détailler brièvement pourquoi $x^{n}/e^{x}$ tend vers $0$ en $0$.
Cependant, il faut que g ne s'annule pas sur V−{a} où V est un voisinage de a
J'ignore ce qui est correct au niveau de la rédaction, mais la lettre $V$ a déjà été introduite en début de partie.
J'ajouterais un petit mot sur le "privé de $a$". Qu'on travaille sur une limite, etc.
La formule … convient pour définir Rn.
Je rappelerais cette formule à la fin de la démonstration, pour ceux ne l'ayant pas lue.
On peut regarder le développement de exp(x) en x=0
Je pense qu'il serait plus clair de continuer de parler de $a$. On aurait un truc du genre : "Pour $a = 0$, on peut regarder le développement de exp(a)".
Tu traces des graphes dans l'exemple, mais ne les exploites pas.
L'exemple se termine très brutalement.
Je ferais le lien entre la notion de développement limité et la formule de Taylor-Lagrange. Tu l'as dit dans la partie sur la détermination du reste, mais relier Rn et "petit o" pourrait être judicieux. Autrement dit, exprimer clairement $P$ tel que : $exp(0+h) = P(0) + o(h^{n})$. Je le rajouterais après la note, en indiquant que c'est valable pour tout $n$ vu que $exp$ est de classe $C^{\infty}$.
Propriétés et opérations :
Soient P,Q deux polynômes à priori distincts
Plutôt : "a priori"
…
J'ignore ce qui est correct au niveau de la rédaction, mais la lettre V a déjà été introduite en début de partie.
Dans des cas comme ça, c'est ce qui est au plus près qui compte. Si j'introduis un nouveau $V$, c'est lui qui prévaut dans la situation dans laquelle il a été introduit.
Détailler brièvement pourquoi $x^n/e^x$ tend vers 0 en 0.
En $0$ aussi, mais ici c'est $+\infty$. Ce sont des croissances comparées qu'on apprend au lycée. La démonstration me semble pas utile, elle est un peu trop lourde pour ce que ça apporte.
J'ajouterais un petit mot sur le "privé de a". Qu'on travaille sur une limite, etc.
Moui
Je rappelerais cette formule à la fin de la démonstration, pour ceux ne l'ayant pas lue.
Si on lit pas la formule qu'on démontre … c'est pas malin. Au contraire, je veux pousser le lecteur à bien l'inspecter.
Je pense qu'il serait plus clair de continuer de parler de a. On aurait un truc du genre : "Pour a=0, on peut regarder le développement de exp(a)".
Non parce qu'il ne faut pas s'enfermer dans un vocabulaire. Que ce soit $a$ ou $x$ ou $\xi$ ou $\beta$ le lecteur doit pouvoir s'y retrouver.
Je ferais le lien entre la notion de développement limité et la formule de Taylor-Lagrange. Tu l'as dit dans la partie sur la détermination du reste, mais relier $R_n$ et "petit o" pourrait être judicieux. Autrement dit, exprimer clairement $P$ tel que : $exp(0+h)=P(0)+o(hn)$. Je le rajouterais après la note, en indiquant que c'est valable pour tout n vu que exp est de classe $C^\infty$.
Ça a été dit, clairement en plus. L'intérêt des exemples c'est aussi que le lecteur sache où est-ce qu'il ne comprend plus et qu'il doit chercher les infos. Et c'est l'action d'aller chercher qui fait apprendre efficacement.
Bonjour à tous !
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Merci pour vos relectures
En $0$ aussi, mais ici c'est $+\infty$. Ce sont des croissances comparées qu'on apprend au lycée. La démonstration me semble pas utile, elle est un peu trop lourde pour ce que ça apporte.
Ouep, mais juste mentionner l'expression "croissances comparées".
Si on lit pas la formule qu'on démontre … c'est pas malin. Au contraire, je veux pousser le lecteur à bien l'inspecter.
Je parlais de la démonstration. Si "la lecture de ce qui suit peut être omise en première approche", il ne faut pas mettre d'élément essentiel pour la suite dedans.
Ça a été dit, clairement en plus. L'intérêt des exemples c'est aussi que le lecteur sache où est-ce qu'il ne comprend plus et qu'il doit chercher les infos. Et c'est l'action d'aller chercher qui fait apprendre efficacement.
Là encore, c'est dit dans la démonstration, que tu décris comme facultative. L'ajout consisterait simplement à dire que exp c'est la somme plus un petit o de hn-1. =)
Pour le coup, je dis avant "peut être omise" le fait qu'on va montrer que $R_n = o(h^{n-1})$.
