Pour le coup, je dis avant "peut être omise" le fait qu'on va montrer que $R_n = o(h^{n-1})$.
Tu es sûr ?
La lecture de ce qui suit peut être omise en première approche. Il va s'agir principalement de démontrer que Rn=o(hn−1). On aura également une expression explicite de Rn.
Ou alors j'ai manqué quelque chose.
Bah quand on lit "ce qui suit", ça veut dire "après ce paragraphe".
Bonjour à tous !
La beta du tutoriel a été mise à jour.
Merci pour vos relectures
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Ajout d'un extrait sur les fonctions plates
Désactivation de la beta du tutoriel Introduction aux développements limités
Pour plus d'informations envoyez moi un message privé.
Un gros merci à tous ceux qui ont participé aux beta et qui m'ont fait remonté leurs opinions et critiques constructives !
Bonjour,
La beta du tutoriel est de nouveau active.
Merci pour vos relectures
J'ai fait un ajout d'une seconde partie applicative au sujet de la méthode de Newton. J'ai besoin de relectures sur cette partie. L'intro et la conclu générales n'ont pas été encore accordées.
Je n'ai pas encore lu en profondeur la partie sur la méthode de Newton, mais j'ai une remarque à son propos : tu n'expliques pas du tout ce qu'est la méthode de Newton. Je pense qu'il faudrait un premier extrait (ou peut-être le faire en introduction) qui traiterait rapidement de cela et expliquerait à quoi elle sert.
En principe l'introduction de la partie sert à ça. Est-ce qu'elle manque de visibilité?
Comme j'ignore le lectorat visé, je relève toutes les étapes mathématiques que je ne comprends pas.
Je place en balises cachées les remarques sans grande importance.
nous en étudierons en suite
ensuite
mais nous nous limiterons bien évidemment au cas n=1.
Pourquoi "bien évidemment" ?
d'un voisinage Va de a∈R
Ca fait un peu bizarre d'avoir un "d'un …" sans le "dans …". Du moins, je ne l'ai jamais rencontré.
Si f′(a) est non nul alors il existe Ua⊂Va un voisinage de a (plus petit ou égal à Va) tel que f est une bijection de Ua dans f(Ua) et tel que h=f−1 est dérivable sur f(Ua).
Au début, je n'avais pas compris qu'il s'agissait du théorème.
Cela signifie formellement que f∘h=h∘f=Id localement autour de a et f(a).
Je rajouterais un "notamment", parce que ça ne signifie pas que ça (dérivabilité).
(on a toujours (−h)2=h2)
Vu que tu as déjà utilisé cette lettre pour désigner l'inverse local, il pourrait être judicieux d'en changer ici.
Ce n'est pas un résultat généralisable à toutes les fonctions dérivables ! La fonction x↦x2 est de dérivée nulle en 0 et n'est pas une bijection autour de 0 (on a toujours (−h)2=h2). Et la réciproque est également fausse : la fonction x↦x3 est une bijection mais est de dérivée nulle en 0.
Ce paragraphe est une très bonne idée.
Comme α est un zéro simple on a :
Ca, on l'a toujours à partir du moment où $\alpha$ est un zéro, non ? Certes, tu dis juste après "et par hypothèse, f′(α)≠0", pour lequel le "simple" est nécessaire, mais il me semble intéressant de séparer les deux. Par exemple :
$\alpha$ est un zéro donc : … et comme il est simple, …
il existe une application h:V0→R définie dans un voisinage de 0
Peut-être préciser pourquoi le $f(U_a)$ du théorème s'avère un voisinage de $f(a)$.
pour deux voisinages suffisamment petits de Vα et V0
Il me semble que c'est un "sur deux", et je ne comprends pas la formulation "voisinages […] de Vα et V0". On est voisinage d'un réel (ici), pas d'un ensemble, non ?
on va étudier f et h au voisinage y
Il me semble que c'est "au voisinage de".
Mais n'est-il pas étrange d'étudier $f$ au voisinage de $f(x)$ ?
Comme α=h(0), on va commencer par développer l'expression X=h(Y) au voisinage de y en puissances de (Y−y)
Je n'avais pas compris cela avant de lire le début de l'extrait suivant.
puis nous poserons Y=0 afin d'avoir une expression qui donne une meilleure approximation de α.
Sans avoir lu la suite, je ne comprends pas cela.
Puisque y=f(x) on a h(y)=h(f(x))=x d'où :
Quelques virgules seraient les bienvenues.
On appelle méthode de Newton l'application :
Sachant que tu as déjà appelé $x$ l'approximation originelle de $\alpha$, on se perd un peu ici. Peut-être plutôt utiliser $t$ ou autre comme variable muette de l'application ?
Intuitivement, on peut comprendre pourquoi ça marche
Tu l'as dit en introduction, mais je le répèterais ici : on itère la méthode d'Euler pour obtenir une approximation. Sinon, on a un peu de mal à avoir une intuition en ignorant ce que l'on va faire de cette application. 
R2(0) sera très petit devant les autres termes et on devrait donc s'approcher de α.
Sans avoir lu la suite, j'ai du mal à comprendre cela. Il me semble qu'on a simplement dit ici que $\alpha$ était un terme plus une erreur. Du coup, je ne comprends pas comment il peut être question d'approche.
qu'étant donné x proche de α
Le lecteur se demandera probablement "à quel point ?".
ce qui montre que pour h assez petit, on a :
Je ne comprends pas cela.
et donc pour x=α+h on obtient effectivement une meilleure approximation
Il faut pour ce faire $i(x - \alpha)^2 \leq \mid x - \alpha \mid$, non ?
De plus, cette approximation apporte deux fois plus de décimales correctes par rapport à l'approximation précédente puisque h2 majore la différence.
Expliciter un peu ça serait chouette.
Calculons N′, pour rappel :
Il me semble qu'un point (-virgule ?) est syntaxiquement plus correct.
Ainsi, on a bien N′(α)=0 et l'égalité précédente.
Je développerais le "et l'égalité précédente" en indiquant qu'on effectue un DL de $N$ en $\alpha$ (je n'avais personnellement avant cela pas compris).
avec un 0 d'ordre n en α avec m>n+2
Le second "avec" pourrait être remplacé par un "de sorte que" pour éviter la répétition.
En particulier, on a :
Je ne comprends pas le "En particulier".
Nous ferons « d'une pierre deux coups » en montrant que cette expression a du sens
« d'une pierre deux coups » ? Bien sûr que ç'a du sens ! 
f′(α+h) =
f′(α+h) =
f′′(α+h) =
f′′(α+h) =
Il serait plus lisible je pense, de faire :
1 2 3 4 | f′(α+h) =
=
f′′(α+h) =
=
|
Cela montre que dans un voisinage suffisamment petit de α on a :
Je ne comprends pas cela.
Cependant cette convergence n'est plus quadratique (sauf dans le cas n=1 déjà traité).
Il me semble que le "sauf" ne va pas avec le "n'est plus" et que tu pourrais plutôt mettre un "comme" (ou alors un "n'est pas", sans le "cependant").
Merci.
PS : pourquoi ne pas dédier un tutoriel à la méthode de Newton ?
PPS : je ne crois pas que tu parles de ça :
De manière plus générale, un domaine non-convexe va impliquer possiblement de nombreux optimums locaux dans lesquels les algorithmes habituels vont être piégés, comme c’est le cas de l’algorithme de Newton.
Merci pour tes commentaires Vayel, je ferai les corrections plus tard (je suis en vacances). Je reviendrai aussi sur les points plus litigieux.
Je vais donc juste commenter tes PS
Ça pourrait être un tuto à part entière mais il s'inscrit bien ici. De plus, @dri1 m'a poussé à le faire pour rendre le tutoriel plus intéressant pour les personnes visées (celles un peu à l'aise dans le formalisme).
En effet, je ne parle pas de la dynamique autour de la méthode de Newton. Cela demanderait des outils de topologie et d'analyse complexe bien au-delà de ce qui a été fait ici. En tout cas je ne connais pas d'approche suffisamment élémentaire pour pouvoir la faire ici.
En effet, je ne parle pas de la dynamique autour de la méthode de Newton. Cela demanderait des outils de topologie et d'analyse complexe bien au-delà de ce qui a été fait ici. En tout cas je ne connais pas d'approche suffisamment élémentaire pour pouvoir la faire ici.
Il faudra que je relise le chapitre pour en être sûr, mais il me semble que tu dis peu ou prou que cette méthode fonctionne toujours : une fois qu'on a la méthode de Newton, il suffit d'itérer. Or, de ce que j'en ai compris, on a parfois des problèmes. Comme ces derniers se formalisent de manière complexe, tu as raison de les exclure de ce tutoriel, mais il me semble judicieux de les mentionner. Mais peut-être le fais-tu : il faut que je relise le chapitre plus en détails pour vérifier mes propos.
D'autre part, de mémoire, la méthode de Newton admet une interprétation graphique simple (il me semble qu'on trace la tangente de $f$ en $\alpha$ et qu'on remplace ce dernier par l'intersection avec l'axe des abscisses), laquelle met d'ailleurs en valeur les soucis pointés ci-dessus. Peut-être pourrais-tu envisager d'inclure un schéma.
Merci.
PS : bonnes vacances !
La méthode fonctionne toujours si on se place dans un bon premier voisinage (dans les cas de convergence au pire géométrique, ce qui limite déjà). Or je n'ai rien dit quant à la forme de ces voisinages.
Je suis pas fan de l'interprétation géométrique. Je trouve ça infiniment plus clair d'obtenir la méthode par le calcul.
La méthode fonctionne toujours si on se place dans un bon premier voisinage (dans les cas de convergence au pire géométrique, ce qui limite déjà). Or je n'ai rien dit quant à la forme de ces voisinages.
Ah oui, c'est le "Nous allons montrer, qu'étant donné x proche de α, la méthode de Newton permet effectivement d'obtenir une meilleure approximation de α en l'évaluant en x." que j'ai relevé.
Je suis pas fan de l'interprétation géométrique. Je trouve ça infiniment plus clair d'obtenir la méthode par le calcul.
Ajouter un schéma à la fin permettrait de satisfaire tout le monde tout en obtenant la méthode par le calcul, non ?
√2 ? (sans LaTeX)
une suite à valeurs rationnelles mais qui converge
Pourquoi "mais" ?
En effet, le polynôme x2−2 a une racine simple en 2√
Peut-être devrais-tu indiquer que les hypothèses sur la classe de $f$ sont vérifiées.
π ? (sans LaTeX)
Nous allons utiliser le fait que cette méthode converge également lorsque la racine n'est pas simple
La racine n'est pas simple ici ? Pourtant, la dérivée de la fonction considérée est $x \mapsto - \frac 12 \sin{x/2}$, qui vaut $-1/2$ et non $0$ en $\pi$.
supposons que ça soit le cas, posons
Je remplacerais la virgule par un "et".
il n'empêche que l'on observe facilement que cette suite semble converger
Je ne comprends pas trop là. Les hypothèses ne sont pas vérifiées mais la méthode de Newton fonctionne tout de même ?
Ces quelques exemples devraient vous avoir éclairé
s
sur les calculs dans les faits
Je ne comprends pas le "dans les faits".
Ce chapitre est une très bonne idée. Tu as fourni avec les fonctions plates un exemple où la méthode de Newton est inefficace. Il serait peut-être intéressant d'en donner un où elle fait n'importe quoi.
Merci.
Je rentre demain (btw).
En effet je me suis perdu pendant l'écriture dans le choix de l'exemple, d'où la plupart des fautes que tu as relevé.
Sinon j'ai un peu de mal à trouver un exemple où ça ne marche pas du tout… En fait l'analyse qui précède montre que ça marche pour un (très) grand nombre de cas et à part les fonctions plates je vois pas grand chose …
Tes remarques ayant disparu, j'ai édité mes retours pour répondre à certaines questions que tu posais et clarifier certains points. Mais je ne me souviens par contre plus de toutes.
Et merde toutes mes corrections ont disparues…
Bon j'attends que le site redevienne accessible normalement et je verrai si je continue l'écriture ou pas. C'est le genre de trucs qui me font craquer.
Sachant que tu as déjà appelé x l'approximation originelle de α, on se perd un peu ici. Peut-être plutôt utiliser t ou autre comme variable muette de l'application ?
Je comprends pas bien le problème. Une approximation c'est aussi un nombre réel et il se trouve que c'est ce qu'on utilise dans la méthode de Newton. Autant garder $x$ non ?
Sans avoir lu la suite, j'ai du mal à comprendre cela. Il me semble qu'on a simplement dit ici que α était un terme plus une erreur. Du coup, je ne comprends pas comment il peut être question d'approche.
$\alpha$ est le terme recherché.
Sinon j'ai supprimé l'extrait sur $\pi$. J'ai aussi renommé $h$ (l'inverse local) en $g$ pour plus de clarté.
Bonjour à tous !
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Une petite question: Ton tuto s'adresse à qui ? Pour qui l’écris tu ? Pour quel profil de personne ?
Dans la même idée tu commences par :
"Avant même d'aborder le sujet, on peut se demander pourquoi lire un tel tutoriel. Que va permettre un « développement limité » ?"
1- Formellement ça sert a rien à la vue du nom du tuto : "Introduction aux développements limités" Si quelqu'un n'a pas la moindre idée de ce qu'est un DL il ne lira pas ton tuto pour la simple et bonne raison que son titre lui passera totalement au dessus !
2- tu enchaines avec "La continuité…" aucun rapport avec la question donc … 3- Tu ne donne même pas la réponse à la fin du chapitre !
1- Formellement ça sert a rien à la vue du nom du tuto : "Introduction aux développements limités" Si quelqu'un n'a pas la moindre idée de ce qu'est un DL il ne lira pas ton tuto pour la simple et bonne raison que son titre lui passera totalement au dessus !
Bah non. On peut savoir qu'on doit apprendre cette notion ou être curieux ou déjà connaitre un peu et vouloir un autre cours.
3- Tu ne donne même pas la réponse à la fin du chapitre !
Il vaut mieux lire ce que j'ai écrit avant d'affirmer ça …
J'ai lu, j'ai lu 
.
Et la réponse n'y ait pas !
Il y a des choses qui ressemble vaguement et de loin à une réponse, comme par exemple la dernière phrase de la partie sensé donné la réponse :
Comment obtenir de telles fonctions ? Est-ce qu'on peut faire encore mieux ? Toutes ces questions auront une réponse dans la suite ce tutoriel.
Il y a ça egalement :
Nous avons donc vu deux méthodes d'approximation. Pourquoi essayer d'en dégager une autre ?
Qui n'est toujours pas une réponse franche.
Alors le lecteur aviser comprend et fait le lien. Le lecteur non avisé comprendrait mais ne fera sans doute pas le lien avec développement limité !
Bah non. On peut savoir qu'on doit apprendre cette notion ou être curieux ou déjà connaitre un peu et vouloir un autre cours.
C'est une posture. Je pense quand même que tu devrais bien réfléchir a qui tu veux cibler et être totalement cohérent pour se public. Pour moi vu la rédaction ton cours se situe un peu entre deux eaux
Veux tu privilégier ceux qui ne connaissent pas les DL ou ceux qui les on deja vu ?
Ensuite un truc qui pourrait être pas mal (mais ça dépend de ce que tu veux comme genre de cours) c'est expliquer pourquoi tu introduis les différentes notions. C'est pour moi quelque chose qu'il manque dans beaucoup de cours de maths (et beaucoup de cours de physique "théorique"). Les propriétés et énoncés se suivent et seulement à la fin on comprend (si on se souviens de tous et si on a le courage de tous relire depuis le début) l’intérêt de ce qui a été listé avant. Pour moi c'est un frein artificiel à la compréhension.
Dans le cas de ton tuto par exemple tu as un chapitre :
Fonction négligeable devant une autre Pourquoi introduire cette notion ? Ma remarque peu être étendu à n'importe quel notion introduite. (par exemple juste après tu introduis le développement de Taylor Lagrange, pourquoi ? C'est quoi un développement de Taylor Lagrange ? ) En gros ce qui serait sympa c'est de décrire la logique qui imbrique tous les éléments. nop ? (et ça serait original !) Après ça c'est une ligne pédagogique qu'on a envie ou non de suivre mais c'est une idée