Pour simplifier un peu l'écriture, je vais utiliser des valeurs arrondies. K (27 %), Cr (35 %) et O (38 %). Les masses atomiques, on va prendre K (39), Cr (52) et O (16).
Pour reprendre l'équation que tu donnes, voilà comment la simplifier dans un premier temps.
$$\frac{16z}{39x + 52y + 16z} \times 100 = 38$$
$$16z \times 100 = 38 \times (39x + 52y + 16z)$$
$$16z \times 100 - 16z \times 38 = 38 \times (39x + 52y)$$
$$16z \times (100 - 38) = 38 \times (39x + 52y)$$
$$16z = \frac{38 \times (39x + 52y)}{100 - 38}$$
En procédant de la même manière, à partir de ta deuxième équation
$$\frac{52y}{39x + 52y + 16z} \times 100 = 35$$
tu arrives à
$$52y = \frac{35 \times (39x + 16z)}{100 - 35}$$
Tu replaces $16z$ par la valeur que tu as trouvée plus haut.
$$52y = \frac{35 \times (39x + \frac{38 \times (39x + 52y)}{100 - 38})}{100 - 35}$$
$$52y = \frac{35}{100 - 35} \times \frac{(100 - 38) \times 39x + 38 \times (39x + 52y)}{100 - 38}$$
$$52y = \frac{35}{100 - 35} \times \frac{100 \times 39x + 38 \times 52y}{100 - 38}$$
$$52y = \frac{35 \times 100 \times 39x + 35 \times 38 \times 52y}{(100 - 35)(100 - 38)}$$
$$52y \times (100 - 35)(100 - 38) = 35 \times 100 \times 39x + 35 \times 38 \times 52y$$
$$52y \times [(100 - 35)(100 - 38) - 35 \times 38] = 35 \times 100 \times 39x$$
$$52y \times (100 \times 27) = 35 \times 100 \times 39x$$
$$52y \times 27 = 35 \times 39x$$
$$52y = \frac{35}{27} \times 39x$$
On réinjecte ce résultat dans la valeur de $16z$ trouvée plus haut
$$16z = \frac{38 \times (39x + \frac{35}{27} \times 39x)}{100 - 38}$$
$$16z = \frac{38}{100 - 38} \times \left( \frac{27}{27} \times 39x + \frac{35}{27} \times 39x \right)$$
$$16z = \frac{38}{100 - 38} \times \left( \frac{27+35}{27} \times 39x \right)$$
$$16z = \frac{38}{100 - 38} \times \left( \frac{100 - 38}{27} \times 39x \right)$$
$$16z = \frac{38}{27} \times 39x$$
Si on suivait la même procédure avec la troisième équation, on arriverait au fantastique résultat que $1 = 1$, ce qui nous intéresse moyennement. Alors reprenons plutôt nos deux résultats.
$$52y = \frac{35}{27} \times 39x \ et \ 16z = \frac{38}{27} \times 39x$$
$$39x = \frac{27}{35} \times 52y \ et \ 39x = \frac{27}{38} \times 16z$$
On va les fusionner en une seule équation
$$\frac{27}{35} \times 52y = \frac{27}{38} \times 16z$$
$$38 \times 52y = 35 \times 16z$$
Il est temps de réutiliser les valeurs exactes que tu nous a fournies
$$38,07 \times 51,99 \times y = 35,36 \times 16 \times z$$
On sait que $x$, $y$ et $z$ sont nécessairement entiers, donc il ne reste plus qu'à faire des essais pour voir quelles solutions fonctionnent. On va jouer avec $y$, car il y a très vraisemblablement moins d'atomes de chrome que d'oxygène dans une molécule.
Si on suppose que $y = 1$, on obtient $z = 3,498407982$, ce qui ne peut manifestement pas être correct. Si on suppose que $y = 2$, alors $z = 6,996815964$ : si on arrondit à 2 chiffres après la virgule, comme dans toutes les autres valeurs fournies, ça donne $z = 7$, qui est bien une valeur entière. Pour être entièrement sûrs, on vérifie avec $39,09x = \frac{26,57}{35,36} \times 51,99y$, qui donne $x = 1,998772846$ : là encore, arrondi à 2 chiffres après la virgule, on obtient $x = 2$ qui est bien entier.
La formule est donc K2Cr2O7 !
