Déterminer la formule brute d'un composé

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Auteur du sujet

Bonjour,

Voici un exercice que j'ai du mal à résoudre. L’analyse élémentaire d’un composé de chrome ne contenant que les éléments K, Cr et O a donné la composition en masses suivante : K : 26,57 %, Cr : 35,36 %, O : 38,07 %. Déduisez la formule brute du sel.

J'arrive à écrire mes équations et trouver le bon résultat (cf. correction) mais je suis censé le faire sans calculatrice et je me demandais s'il n'y avait pas une méthode plus facile.

Je vais pas écrire toutes les équations mais elles sont toutes de la forme :

$\frac{{16,00z}}{{39,09x + 51,99y + 16,00z}}.100 = 38,07$ , avec $X:{K_x}C{r_y}{O_z}$

Ce qu'on peut résoudre avec une calculatrice bien entendu car j'aurai 3 équation pour 3 inconnues. Mais… comment faire sans calculatrice (en tout cas programmable et qui permet d'entrer des systèmes - on peut avoir une calculatrice élémentaire) ?

PS: je pensais poser $M(X)=k$ (constante) mais je sais pas si ça aide en réalité.

Édité par sotibio

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Sans calculatrices, il te reste à disposition toutes les méthodes de base de résolution des systèmes linéaires. En particulier, si tu écris les 3 équations, tu peut les combiner linéairement pour supprimer des variables, ce qui te donne x, puis remplacer la valeur de x dans les autres équations, et résoudre de la même manière pour y et z.

EDIT: ou alors tu peut tenter d'être astucieux, et de prendre en compte le fait que x, y, et z sont des entiers, et qu'ils doivent être dans un rapport simple. Tu as accès aux rapports x/y, x/z et y/z, tu dois pouvoir deviner des valeurs de x, y, z qui satisfasse ces rapports. Il manque les masses molaires ici, voir le message de Akio plus bas.

Édité par Luthaf

Mon Github — Tuto Homebrew — Article Julia

+0 -1

Pour simplifier un peu l'écriture, je vais utiliser des valeurs arrondies. K (27 %), Cr (35 %) et O (38 %). Les masses atomiques, on va prendre K (39), Cr (52) et O (16).

Pour reprendre l'équation que tu donnes, voilà comment la simplifier dans un premier temps.

$$\frac{16z}{39x + 52y + 16z} \times 100 = 38$$

$$16z \times 100 = 38 \times (39x + 52y + 16z)$$

$$16z \times 100 - 16z \times 38 = 38 \times (39x + 52y)$$

$$16z \times (100 - 38) = 38 \times (39x + 52y)$$

$$16z = \frac{38 \times (39x + 52y)}{100 - 38}$$

En procédant de la même manière, à partir de ta deuxième équation

$$\frac{52y}{39x + 52y + 16z} \times 100 = 35$$

tu arrives à

$$52y = \frac{35 \times (39x + 16z)}{100 - 35}$$

Tu replaces $16z$ par la valeur que tu as trouvée plus haut.

$$52y = \frac{35 \times (39x + \frac{38 \times (39x + 52y)}{100 - 38})}{100 - 35}$$

$$52y = \frac{35}{100 - 35} \times \frac{(100 - 38) \times 39x + 38 \times (39x + 52y)}{100 - 38}$$

$$52y = \frac{35}{100 - 35} \times \frac{100 \times 39x + 38 \times 52y}{100 - 38}$$

$$52y = \frac{35 \times 100 \times 39x + 35 \times 38 \times 52y}{(100 - 35)(100 - 38)}$$

$$52y \times (100 - 35)(100 - 38) = 35 \times 100 \times 39x + 35 \times 38 \times 52y$$

$$52y \times [(100 - 35)(100 - 38) - 35 \times 38] = 35 \times 100 \times 39x$$

$$52y \times (100 \times 27) = 35 \times 100 \times 39x$$

$$52y \times 27 = 35 \times 39x$$

$$52y = \frac{35}{27} \times 39x$$

On réinjecte ce résultat dans la valeur de $16z$ trouvée plus haut

$$16z = \frac{38 \times (39x + \frac{35}{27} \times 39x)}{100 - 38}$$

$$16z = \frac{38}{100 - 38} \times \left( \frac{27}{27} \times 39x + \frac{35}{27} \times 39x \right)$$

$$16z = \frac{38}{100 - 38} \times \left( \frac{27+35}{27} \times 39x \right)$$

$$16z = \frac{38}{100 - 38} \times \left( \frac{100 - 38}{27} \times 39x \right)$$

$$16z = \frac{38}{27} \times 39x$$

Si on suivait la même procédure avec la troisième équation, on arriverait au fantastique résultat que $1 = 1$, ce qui nous intéresse moyennement. Alors reprenons plutôt nos deux résultats.

$$52y = \frac{35}{27} \times 39x \ et \ 16z = \frac{38}{27} \times 39x$$

$$39x = \frac{27}{35} \times 52y \ et \ 39x = \frac{27}{38} \times 16z$$

On va les fusionner en une seule équation

$$\frac{27}{35} \times 52y = \frac{27}{38} \times 16z$$

$$38 \times 52y = 35 \times 16z$$

Il est temps de réutiliser les valeurs exactes que tu nous a fournies

$$38,07 \times 51,99 \times y = 35,36 \times 16 \times z$$

On sait que $x$, $y$ et $z$ sont nécessairement entiers, donc il ne reste plus qu'à faire des essais pour voir quelles solutions fonctionnent. On va jouer avec $y$, car il y a très vraisemblablement moins d'atomes de chrome que d'oxygène dans une molécule.

Si on suppose que $y = 1$, on obtient $z = 3,498407982$, ce qui ne peut manifestement pas être correct. Si on suppose que $y = 2$, alors $z = 6,996815964$ : si on arrondit à 2 chiffres après la virgule, comme dans toutes les autres valeurs fournies, ça donne $z = 7$, qui est bien une valeur entière. Pour être entièrement sûrs, on vérifie avec $39,09x = \frac{26,57}{35,36} \times 51,99y$, qui donne $x = 1,998772846$ : là encore, arrondi à 2 chiffres après la virgule, on obtient $x = 2$ qui est bien entier.

La formule est donc K2Cr2O7 !

Édité par Dominus Carnufex

#JeSuisGrimur #OnVautMieuxQueÇa

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Il existe une autre méthode, malheureusement sans calculatrice ça peut être difficile à mettre en place, mais c'est tout de même bon à savoir.

Si tu divise tes fractions pondérales par la masse molaire de l'élément qui leur correspond, tu obtiens des nombres qui sont proportionels au nombre d'atome de ces éléments dans le composé.

Dans ton cas :

Élément % (m/m) %/M
K 26.57 26.57 / 39.10 = 0.68
Cr 35.36 35.36 / 52.00 = 0.68
O 38.07 38.07 / 16.00 = 2.38

Déjà là tu vois qu'il y a autant de K que de Cr. Maintenant, on va se dire que le plus petit nombre d'atome de n'importe le quel de ces élément qu'on puisse trouver par molécule c'est 1. Pour faire ça, on cherche le %/M le plus petit et on divise tout par cette valeur (ici 0.68) ce qui donne :

Élément nombre proportionnel
K 1
Cr 1
O 3.5

C'est pas trop mal, mais dans les formules brute on préfère les chiffre entier, il reste donc à trouver un multiplicateur qui permet d'avoir ça, ici on voit vite que 2 marche très bien donnant $K_2Cr_2O_7$. Dans des cas plus compliqués il faudrait surement un tableur avec un bon solveur pour trouver la solution la plus probable.

Juste un petit détail par rapport au post de Dominus : sans la masse molaire du composé tout ce qu'on peut dire c'est que sa formule est $(K_2Cr_2O_7)n$ avec n entier non nul car $K_4Cr_4O_{14}$ vérifie aussi les fractions pondérales et les systèmes par exemple.

Voilà, ça évite pas la calculatrice, mais ça évite les systèmes compliqués :p

Édité par Akio

Darn, the homo-linear impulse won't morpho-recreate the whaled aero-replicator! We'll have to inhibit the morvo-phased multi-detonator…

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Auteur du sujet

Merci! Super méthode, simple et efficace! Par contre, c'est sûr que la formule brute est ${K_2}C{r_2}{O_7}$ je pense car on veut pas la formule moléculaire, non? Un peu hors-sujet mais, Akio, t'aurais pas fais un article un jour sur comment rédiger un TP de Chimie. J'en ai un demain et j'aimerais que ça soit propre :p

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Oui, la formule c'est bien ça, je pense pas qu'on attende de toi autre chose, je faisait remarquer qu'il faut faire attention car d'autre formules sont possible. En chimie inorganique ça passe encore, mais en orga ça peut être source d'erreurs.

Et non, j'ai pas écris d'articles. Mais si tu ouvres un autre sujet à ce propos j'essaierai de t'aider

Édité par Akio

Darn, the homo-linear impulse won't morpho-recreate the whaled aero-replicator! We'll have to inhibit the morvo-phased multi-detonator…

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