La hauteur d'un tétraèdre irrégulier

En fait il est régulier ce tétraèdre

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour à tous,

J'aimerais comprendre une équation de mon cours, que j'ai malheureusement prise à l'arrache et ce sans trop comprendre comment en avait-on déduit la terme B. Donc on a appliqué le théorème de Pythagore à un tétraèdre irrégulier (ayant pour base un triangle équilatéral):

$$ A² + B² = C² $$

$A$ : Hauteur du tétraèdre
$B$ : dafuq ?
$C$ : longueur des coté du triangle équilatéral servant de base

J'écris dafuq car $ B = 0.66h $, or $h$ est la hauteur du triangle équilatéral. Je ne vois pas pourquoi elle est coupé au deux tiers ? Mon tétraèdre est irrégulier certes, mais comment puis-je savoir que le sommet n'est pas positionné juste au dessus du barycentre du triangle équilatérale . Ce que je me demande donc :

Pourquoi le terme $ B = 2h/3 $ et non pas $ B = h/2 $ ?

Merci du temps accordé à la lecture de ce problème.

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Après quelques gribouillages, je n'en ai aucune idée. Ce qui me choque, c'est que le triangle rectangle à créer pour appliquer Pythagore à pour hypoténuse l'un des côtés du triangle équilatéral de la base. En fait, ça me semble même impossible tel que tu nous le présente.

Si on se place dans le triangle équilatéral servant de base, on peut appliquer Pythagore entre un côté, une hauteur, et un demi-côté (médiatrice et hauteur sont confondus dans les triangles équilatéraux). Alors, on a $C^2 = H^2+C^2/4$, soit $3/4 C^2 = H^2$. Le problème est le suivant : si le tétraèdre est irrégulier, on peut fixer A arbitrairement. Or H (donc B) et C sont liés.

Donc tout ça me semble un peu bizarre.

Sinon, quand je vois 2/3 h, je pense barycentre. En effet, le barycentre est situé au 2/3 de la hauteur dans le cas du triangle équilatéral. Mais ça n'aide pas.

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Ah oui le barycentre est effectivement aux 2/3 de la hauteur d'un triangle équilatérale…

Je ne sais pas si ça peut aider mais $h = 0.5C \times 3^{0.5}$ donc on peut obtenir l'écriture de $A$ en fonction de $C$ :

$$ A = C \times 0.66^{0.5}$$

Le deux-tiers persiste bien… J'veux bien apprendre par cœur que le terme $B$ soit un peu exotique. Mais en géométrie devrait y avoir une solution rationnelle (entendre par là non-empirique) ?

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En fait on utilise la réciproque à partir du théorème. On cherche la hauteur justement du tétraèdre. La longueur des cotés du triangle équilatérale est connue. On appel ça $C$. On a obtenu

$$h_{triangle} = 0.5C \times 3^{0.5}$$

Et on cherche la Hauteur du tétraèdre à partir de $C$ :

$$ h_{tetra}² + (2/3)h_{triangle} = C² $$
$$ h_{tetra}² + 0.5C(2/3) \times 3^{0.5} = C² $$

PS : J'peux vous sortir l'exercice complet si vous souhaitez, si ça peut aider. :)

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$h_{\text{tri}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}C$, c'est de la géométrie élémentaire (hauteur d'un triangle équilatéral), mais ça saute vraiment pas aux yeux en l'écrivant comme tu l'as fait… Sérieusement, quitte à se servir de LaTeX, autant écrire les choses lisiblement. :-°

Par contre, ce que je comprends vraiment pas, c'est sur quel triangle tu appliques Pythagore. Un petit schéma permettrait d'y voir plus clair je pense, pour l'instant ça fait un peu jeu de pistes…

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OK, je pense que je viens de capter. Si tes points bleues représentent bien des atomes de même nature, alors $D$ est bien situé au dessus du barycentre (appelons le $H$) de $ABC$ et on a aussi $AB=AD=a$. En appliquant Pythagore dans le triangle $AHD$ rectangle en $H$, on obtient la relation que tu as écrit, avec $AH=\dfrac 23h$.

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Bah ça me parrait bizarre justement Aabu, notre prof nous a parlé de tétraèdre irrégulier.

Adri1 saurais-tu m'expliquer pourquoi il est régulier ? C'est parce que tout les atome du tétraèdre se touchent ? donc a = 2r à chaque coté ?

Merci beaucoup pour vos participations en tout cas.

PS : Adri1 tu as bein deviné :)

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Adri1 saurais-tu m'expliquer pourquoi il est régulier ? C'est parce que tout les atome du tétraèdre se touchent ? donc a = 2r à chaque coté ?

Non seulement ils se touchent, mais ils sont identiques. Donc le tétraèdre n'a aucune raison d'être irrégulier. Et pour comprendre physiquement pourquoi l'atome du haut est nécessairement à l'aplomb du barycentre, il suffit de raisonner en terme d'encombrement des nuages électroniques des trois atomes du bas : ils repoussent chacun autant celui du haut.

Après, pour le $a=2r$, j'aurais tendance à dire qu'il faut plutôt faire le raisonnement inverse. La distance entre deux atomes identiques qui se touchent est de $a$ en moyenne (évidemment, les atomes bougent comme la température n'est pas à 0K), donc on peut définir le rayon moyen "statistique" de chacun de ces atomes comme étant de $r=\dfrac a2$.

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Mais alors dans mon cours de cristallo j'ai fabulé quand j'ai entendu Tétraèdre et Octaèdre Irréguliers ? Ou ce sont des cas particuliers ? (pour l'instant tout les atomes étudiés sont identiques, mais on a vue plusieurs maille)

Merci Adri1 :D

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