Démonstration par récurrence (factorielle)

Bonjour,

Je dois démontrer $1.1! + 2.2! + ... + n.n! = (n + 1)! - 1,n \geqslant 1$ par récurrence. J'arrive à rien car je ne sais pas trop comment jouer sur la factorielle (je pense).

Initialisation: 1 = 1 - OK. Récurrence (hérédité): Supposons que ${P_k}:1.1! + 2.2! + ... + k.k! = (k + 1)! - 1,k \geqslant 1$ est vraie. (c'est notre hypothèse notée H)

${P_{k + 1}}:1.1! + 2.2! + ... + (k + 1).(k + 1)! = (k + 2)! - 1$

${P_k} \to {P_{k + 1}} \Rightarrow {P_k} + (k + 1).(k + 1)!$

$(k + 1)! - 1 + (k + 1).(k + 1)! = (k + 1)!.\left[ { - 1 + k + 1} \right] = k(k + 1)! \ne (k + 2)! - 1$

Je pense pas que la propriété soit fausse car on me demande de démontrer que c'est vrai

Merci bcp! J'ai juste du mal à comprendre ceci : $(k + 1)!.(k + 2) - 1 = (k + 2)! - 1$ . En prenant des valeurs ça me semble logique mais en expression algébrique je vois pas trop

Merci

bonjour, autre problème de récurrence avec des factorielles : je dois montrer que

n! ≤ ( (n+1) / 2 )ⁿ

si je multiplie chaque terme par (n+1) , j'obtiens

n!(n+1) ≤ (n+1) / 2 )ⁿ * (n+1)

soit n!(n+1) ≤ (n+1)ⁿ * (n+1) / 2ⁿ

puis n!(n+1) ≤ (n+1)ⁿ⁺¹ / 2ⁿ

et là je suis bloqué, je ne vois pas comment arriver à 2ⁿ⁺¹

quelqu'un pourrait m'aider ? merci d'avance.

J'aurai plutôt tendance à développer avec le binôme de Newton puis voir ce que ça donne.

Un petit détail : ce que tu veux montrer, c'est $(n+1)! \leq \left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1}$, donc rajouter un 1/2 ne suffira pas.

@bibi28 : Je ne sais pas si tu devrais créer un nouveau sujet, mais ce que tu veux montrer découle de l'inégalité arithmético-géométrique. Pour l'ordre 2, cette inégalité dit que $ab \leq \left( \frac{a+b}{2} \right)^2$, donc on peut appliquer cette inégalité à $1$ et $n-0$, ainsi qu'à $2$ et $n-1$, etc. et plus généralement à $i \times (n-(i-1))$ qui va être inférieur ou égal à $\left( \frac{n+1}{2} \right)^2$.

edit : pardon, cela découle en fait directement de l'inégalité arithmético-géométrique d'ordre $n$. Ce que j'ai dit plus haut était mélangé avec la raison qui fait que la moyenne arithmétique de $1,2,\dots,n$ est $\frac{n+1}{2}$.

tu as raison Gabbro ! du coup je suis encore plus loin de la solution !

Je confirme que ça se démontre facilement par la méthode d'Idéophage, et sans récurrence.

Comment fais-tu pour passer de $n!$ à $(n+1)!$ (ça tu l'as déjà dit) ? Essaie maintenant de trouver une opération similaire pour passer de $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n$ à $\left( \frac{n+2}{2} \right)^{n+1}$.

Pour passer de $n!$ à $(n+1)!$, on multiplie. Essaie donc de voir par quoi on multiplie de l'autre côté, par exemple.

Une fois que tu auras ces deux opérations, considères deux réels quelconques $a$ et $b$, à la place de considérer spécifiquement $n!$ et $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n$. Ensuite, essaie de montrer que si on a $a \leq b$, alors en appliquant les opérations (la première à $a$ et l'autre à $b$), on conserve le $\leq$.

si je multiplie ( (n+1)/2)ⁿ par (n+1)/2

j'obtiens ((n+1)/ 2)ⁿ⁺¹.

et pas ((n+2)/ 2)ⁿ⁺¹.

il m'embête bien ce + 2 !

Tu ne peux pas multiplier par autre chose ? Il y a même une notation pour désigner le nombre par lequel il faut multiplier pour passer de b à a.

J'ai beau me creuser la tête, je ne vois pas !

Pour passer de $b \neq 0$ à $a$, on multiplie par $\frac{a}{b}$, n'est-ce pas ? Tu as donc une notation pour désigner le nombre par lequel il faut multiplier pour passer de $u_n = \left( \frac{n+1}{2} \right)^n$ à $u_{n+1}$. Ensuite, tu peux un peu simplifier cette expression.

On se retrouve donc avec deux fonctions : une qui sert à passer de $n!$ à $(n+1)!$ et l'autre de $u_n$ à $u_{n+1}$. Maintenant, essaie de comparer ces deux fonctions. Il s'agit de deux multiplications, donc il suffit de comparer les nombres par lesquels on multiplie.

On peut aussi considérer le rapport $\frac{u_n}{n!}$.

edit : mais sinon, l'intérêt de ce genre de démos est quand même assez limité… Ça se résume à constater formellement que « ça fonctionne » (c'est pas toujours le cas pour les démos par récurrence, bien sûr).

ok après quelques calculs je trouve donc que uⁿ⁺¹ / uⁿ = 2 (n+2) ⁿ⁺¹ / (n + 1)ⁿ

donc il faut montrer que (n+1) ≤ 2 (n+2) ⁿ⁺¹ / (n + 1)ⁿ

je divise chaque coté par n+1 et j'arrive à

1 ≤ 2 ( (n+2) / (n+1) ⁿ⁺¹

et comme (n+2) / (n+1) > 1 pour n > 0 la propriété ci-dessus est vraie.

ouf ! merci beaucoup idéophage !

( Ps : comment faire pour écrire les équations comme tu l'as fait avec des grandes parenthèses ? )

C'est presque ça, tu t'es juste trompé pour le rapport (et ça devient un tout petit peu plus dur pour montrer que c'est vérifié).

( Ps : comment faire pour écrire les équations comme tu l'as fait avec des grandes parenthèses ? )

Tu peux citer mon message (bouton en haut à droite du message) pour voir ce que j'ai entré. Mais pour répondre à ta question, il y a un tuto sur le site, si tu veux.

oui ! c'est 1 ≤ 1/2 ( (n+2) / (n+1) ) ⁿ⁺¹

je vais aller voir le tuto !