Démonstration par récurrence (factorielle)

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Auteur du sujet

Bonjour,

Je dois démontrer $1.1! + 2.2! + ... + n.n! = (n + 1)! - 1,n \geqslant 1$ par récurrence. J'arrive à rien car je ne sais pas trop comment jouer sur la factorielle (je pense).

Initialisation: 1 = 1 - OK. Récurrence (hérédité): Supposons que ${P_k}:1.1! + 2.2! + ... + k.k! = (k + 1)! - 1,k \geqslant 1$ est vraie. (c'est notre hypothèse notée H)

${P_{k + 1}}:1.1! + 2.2! + ... + (k + 1).(k + 1)! = (k + 2)! - 1$

${P_k} \to {P_{k + 1}} \Rightarrow {P_k} + (k + 1).(k + 1)!$

$(k + 1)! - 1 + (k + 1).(k + 1)! = (k + 1)!.\left[ { - 1 + k + 1} \right] = k(k + 1)! \ne (k + 2)! - 1$

Je pense pas que la propriété soit fausse car on me demande de démontrer que c'est vrai :p

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Tu fais une erreur de calcul.

$(k + 1)! - 1 + (k + 1).(k + 1)! = (k + 1)!.\left[ { - 1 + k + 1} \right]$

Ce passage est faux : tu factorises le $-1$ de la première expression sans raison.

$$\begin{aligned} \ & \ (k + 1)! - 1 + (k + 1) \times (k + 1)! \\ = \ & \ (k + 1)! \times \left[ { 1 + (k + 1)} \right] - 1 \\ = \ & \ (k + 1)! \times (k + 2) - 1 \\ = \ & \ (k + 2)! -1 \end{aligned}$$

#JeSuisGrimur #OnVautMieuxQueÇa

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Ça se voit si on compte en « base factorielle ». En base 10, on commence avec des unités, puis on fait des paquets de 10 d'unités, puis des paquets de 10 paquets de 10, et à chaque fois on fait des paquets de 10 des paquets du type précédent.

Ici, on commence avec des unités, puis on fait des paquets de 2, puis des paquets de 3 paquets de 2, etc. On s'interdit d'utiliser plus de n paquets de type n, sinon cela fait un paquet de type n+1. Du coup, comme on peut faire tous les entiers de cette manière, l'entier qui suit le dernier entier que l'on peut faire avec des paquets de type 1 jusqu'à n est le plus petit entier que l'on peut faire en utilisant un paquet de type n+1.

Cela correspond à faire passer le $-1$ du deuxième membre de l'égalité dans le premier membre, puis à enchainer $1 + 1 \times 1! = 2 \times 1! = 2!$, puis $2! + 2 \times 2! = 3 \times 2! = 3!$, etc.

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La factorielle de (k+1), c'est le produit de tous les entiers de 1 jusqu'à (k+1).
La factorielle de (k+2), c'est le produit de tous les entiers de 1 jusqu'à (k+2).
Le produit de tous les entiers de 1 jusqu'à (k+1), multiplié par (k+2), ça donne bien le produit de tous les entiers de 1 jusqu'à (k+2).

#JeSuisGrimur #OnVautMieuxQueÇa

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bonjour, autre problème de récurrence avec des factorielles : je dois montrer que

n! ≤ ( (n+1) / 2 )n

si je multiplie chaque terme par (n+1) , j'obtiens

n!(n+1) ≤ (n+1) / 2 )n * (n+1)

soit n!(n+1) ≤ (n+1)n * (n+1) / 2n

puis n!(n+1) ≤ (n+1)n+1 / 2n

et là je suis bloqué, je ne vois pas comment arriver à 2n+1

quelqu'un pourrait m'aider ? merci d'avance.

Édité par bibi28

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Staff

Un petit détail : ce que tu veux montrer, c'est $(n+1)! \leq \left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1}$, donc rajouter un 1/2 ne suffira pas.

Édité par Gabbro

Hier, dans le parc, j'ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

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@bibi28 : Je ne sais pas si tu devrais créer un nouveau sujet, mais ce que tu veux montrer découle de l'inégalité arithmético-géométrique. Pour l'ordre 2, cette inégalité dit que $ab \leq \left( \frac{a+b}{2} \right)^2$, donc on peut appliquer cette inégalité à $1$ et $n-0$, ainsi qu'à $2$ et $n-1$, etc. et plus généralement à $i \times (n-(i-1))$ qui va être inférieur ou égal à $\left( \frac{n+1}{2} \right)^2$.

edit : pardon, cela découle en fait directement de l'inégalité arithmético-géométrique d'ordre $n$. Ce que j'ai dit plus haut était mélangé avec la raison qui fait que la moyenne arithmétique de $1,2,\dots,n$ est $\frac{n+1}{2}$.

Édité par Idéophage

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Staff

Je confirme que ça se démontre facilement par la méthode d'Idéophage, et sans récurrence. :)

Hier, dans le parc, j'ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

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Comment fais-tu pour passer de $n!$ à $(n+1)!$ (ça tu l'as déjà dit) ? Essaie maintenant de trouver une opération similaire pour passer de $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n$ à $\left( \frac{n+2}{2} \right)^{n+1}$.

Pour passer de $n!$ à $(n+1)!$, on multiplie. Essaie donc de voir par quoi on multiplie de l'autre côté, par exemple.

Une fois que tu auras ces deux opérations, considères deux réels quelconques $a$ et $b$, à la place de considérer spécifiquement $n!$ et $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n$. Ensuite, essaie de montrer que si on a $a \leq b$, alors en appliquant les opérations (la première à $a$ et l'autre à $b$), on conserve le $\leq$.

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Pour passer de $b \neq 0$ à $a$, on multiplie par $\frac{a}{b}$, n'est-ce pas ? Tu as donc une notation pour désigner le nombre par lequel il faut multiplier pour passer de $u_n = \left( \frac{n+1}{2} \right)^n$ à $u_{n+1}$. Ensuite, tu peux un peu simplifier cette expression.

On se retrouve donc avec deux fonctions : une qui sert à passer de $n!$ à $(n+1)!$ et l'autre de $u_n$ à $u_{n+1}$. Maintenant, essaie de comparer ces deux fonctions. Il s'agit de deux multiplications, donc il suffit de comparer les nombres par lesquels on multiplie.

On peut aussi considérer le rapport $\frac{u_n}{n!}$.

edit : mais sinon, l'intérêt de ce genre de démos est quand même assez limité… Ça se résume à constater formellement que « ça fonctionne » (c'est pas toujours le cas pour les démos par récurrence, bien sûr).

Édité par Idéophage

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ok après quelques calculs je trouve donc que un+1 / un = 2 (n+2) n+1 / (n + 1)n

donc il faut montrer que (n+1) ≤ 2 (n+2) n+1 / (n + 1)n

je divise chaque coté par n+1 et j'arrive à

1 ≤ 2 ( (n+2) / (n+1) n+1

et comme (n+2) / (n+1) > 1 pour n > 0 la propriété ci-dessus est vraie.

ouf ! merci beaucoup idéophage !

( Ps : comment faire pour écrire les équations comme tu l'as fait avec des grandes parenthèses ? )

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C'est presque ça, tu t'es juste trompé pour le rapport (et ça devient un tout petit peu plus dur pour montrer que c'est vérifié).

( Ps : comment faire pour écrire les équations comme tu l'as fait avec des grandes parenthèses ? )

Tu peux citer mon message (bouton en haut à droite du message) pour voir ce que j'ai entré. Mais pour répondre à ta question, il y a un tuto sur le site, si tu veux.

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