Pendule simple

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Auteur du sujet

Bonjour à tous,

Je n'arrive pas à résoudre cet exercice (ou plutôt je ne comprends pas pourquoi c'est faux!). Un système pendulaire est formé par une masse ponctuelle M = 8,48 kg suspendue au plafond par une ficelle de masse négligeable et de longueur L . La ficelle se casse quand la force de tension dépasse la valeur limite T = 85 N.

(1) Quel est l’angle maximum θo entre la verticale et la ficelle qui permet à celle-ci de ne pas se casser ?

J'ai pris un repère orthogonal sur la masse M de sorte à avoir le poids uniquement sur l'axe Oy (j'ai orienté Oy vers le haut!). Ainsi, j'ai décomposé ma tension (tension du fil) sur Ox et Oy.

J'obtient donc:

$$\overrightarrow T = \left\{ \begin{gathered} T\sin \theta \hfill \\ T\cos \theta \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

$$\overrightarrow P = \left\{ \begin{gathered} 0 \hfill \\ - mg \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

$$\overrightarrow a = \left\{ \begin{gathered} {v^2}/L \hfill \\ dv/dt = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Le prof m'a dit que je devais prendre en compte l'accélération centripète car le repère mobile n'est pas un repère d'inertie. J'ai pas trop compris ce que ça changeait…

De l'équation (2) je sors, $T\cos \theta = Mg \Leftrightarrow T = \frac{{Mg}}{{\cos \theta }} \geqslant 85 \to \theta \leqslant \arccos (\frac{{Mg}}{{85}}) \leqslant 0,2rad$

(déjà ici c'est faux d'après mon corrigé qui me donne 0,15 rad (mais sans détails))

(2) Vous laissez partir la masse d’un angle θo à vitesse nulle. Quelle est la valeur de L si la ficelle se casse après 3 s ?

$T = \frac{{Mg}}{{\cos \theta }} \to Eq.(1) \to \frac{{Mg}}{{\cos \theta }}.\sin \theta = M.{a_{Normale}} \Leftrightarrow {a_N} = g.\tan \theta = 2,06m/{s^2}$

$v(t) = \int {{a_{Normale}}dt = g\tan (\theta ).t \to v(t = 3s) = 6,17m/s} $

$L = \frac{{{v^2}}}{{{a_N}}} = 18,5m$ (or la réponse est presque le double)

Merci d'avance! :)

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Staff

Salut,

Je ne comprends pas ta notation pour $\vec a$.

Sur ce point :

Le prof m'a dit que je devais prendre en compte l'accélération centripète car le repère mobile n'est pas un repère d'inertie. J'ai pas trop compris ce que ça changeait…

Comme tu ne fais que balancer des équations sans expliquer ce que tu essayes de faire, il est difficile de voir ce que tu ne comprends pas. Mais d'un point de vue général, lorsque tu es dans un repère accéléré par rapport à un repère inertiel, il faut prendre en compte cette accélération pour pouvoir appliquer les lois de la mécanique… C'est à peu près le premier truc que l'on apprend en cours de mécanique, je ne vois pas bien ce qui peut poser problème la-dessus. Ce sont de simples considérations de changement de repère.

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Auteur du sujet

Merci.

Je ne vois pas ce que tu me reproches à vrai dire… J'explique le référentiel et je décompose sur les deux axes Ox et Oy. Ce que je ne comprends pas c'est pourquoi mon résultat est faux. Je suppose que c'est quelque chose à voir avec l'accélération car mes deux autres forces me semblent bien décomposées. Voici un schéma, ça sera sûrement plus simple pour m'aider :D http://cl.ly/image/0e0s0v3r3E2j

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Staff

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Je ne vois pas ce que tu me reproches à vrai dire…

Ce ne sont pas des reproches, mais des demandes d'éclaircissement. ^^ La notation pour $\vec a$ déjà (surtout la composante en $y$, je comprends pas ce que tu essayes de dire avec ça). En regardant ton schéma, j'ai l'impression que tu as décomposé $\vec a$ dans un repère différent du reste…

Pour la suite, tu écris juste des équations sans vraiment expliquer ce que tu fais. Du coup, c'est un peu la devinette pour comprendre ce que tu essayes de faire. Par exemple, au tout début tu écris $T\cos\theta =mg$, je comprends que tu écris l'équilibre des forces mais je ne comprends pas pourquoi tu ne le fais que sur l'axe $y$ et pourquoi tu vires l'accélération centripète. Du coup, je ne sais pas si c'est voulu ou si tu essayes juste quelque chose un peu au pif en espérant que ça marche. Et du coup, il est difficile de comprendre ce que tu ne comprends pas.

Par ailleurs, le choix du repère me semble un peu étrange. Pourquoi ne pas utiliser un bon vieux repère polaire ?

Édité par adri1

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Auteur du sujet

Par ailleurs, le choix du repère me semble un peu étrange. Pourquoi ne pas utiliser un bon vieux repère polaire ?

adri1

Je crois que je vais vraiment apprendre ces repères (cylindrique et sphérique) car tout le monde me dit que c'est beaucoup plus simple mais le prof ne compte pas les introduire en cours (tellement cool quand les autres (l'année passée) ce sont tapé un exo similaire mais dans un cône sans connaître les coordonnées polaires <3 ) . Je laisse ouvert et je vais répondre après quand j'aurai compris ce repère.

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Auteur du sujet

Hello,

J'ai regardé un peu les coordonnées polaires et je n'arrive toujours pas au bon résultat. Voici ce que j'ai fais:

$\overrightarrow a = L(\theta ''.\overrightarrow {{e_\theta }} - {(\theta ')^2}\overrightarrow {{e_R}} )$

Bilan des forces:

$\overrightarrow f = m\overrightarrow a \to \overrightarrow T + \overrightarrow P = m\overrightarrow a $

Décomposition sur eR:

$Mg\cos \theta - T = - ML{(\theta ')^2}$

Sur e(theta):

$ - Mg\sin \theta = + ML(\theta '')$

D'ici découle ${\omega _0} = \sqrt {\frac{g}{L}} $ (omega petit!)

De la deuxième équation,

$Mg\theta - T = - ML{(\sqrt {\frac{g}{L}} )^2} \Leftrightarrow \theta = \frac{{T - Mg}}{{Mg}} \cong 0,020rad$

ce qui est faux (je devrais trouver 0,15 rad).

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Staff

Euh… Si $\theta$ est petit, on a bien $\sin\theta\sim\theta$, mais $\cos\theta\neq\theta$

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Auteur du sujet

D'accord… Mais mon expression reste fausse, non ? Même si je prend l'arccos de mon expression j'ai un angle qui vaut 1,5 rad (au lieu de 0,15 donc soit 10 fois plus grand).

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Staff

Bon, je viens de me repencher sur ton problème. Tu as tout bon jusqu'à la forme de $\omega_0$. C'est après que tu te trompes. Pourquoi tu remplaces $\dot\theta$ par $\omega_0$ ? Il n'y aucune raison pour que ce soit vrai… o_O Je ne vois même pas d'où tu as sorti cette idée en fait.

Tu devrais plutôt chercher une expression pour $\theta(t)$ en fonction de $\theta_0$ (l'angle de départ) et en déduire l'expression de $T$ en fonction du temps. De là, tu cherches le maximum de $T$ en fonction de $\theta_0$ pour retrouver ensuite quel est l'angle max initial que tu peux donner à ton pendule sans que la corde lâche.

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