Décomposition de polynômes

Hello à tous,

Je dois décomposer un certain nombre de polynômes en produit avec le degré 1. Par exemple, je dois décomposer ${z^6} + 1$ . Deux racines sont évidentes ($ \pm i$ ). mais je ne vois pas comment trouver les autres. Au début, j'étais parti sur Horner (et donc le faire plusieurs fois) mais ça me donne pas grand chose.

Merci d'avance!

Il y a aussi les $e^{K i\pi}$. Mais comme ça ne se devine pas quand on ne l'a jamais vu, j'imagine que ce n'est pas ça qu'on attend de toi.

On a $z^{12} - 1 = (z^6 + 1)(z^6 - 1)$. Mais sinon, ne sais-tu pas trouver les racines $n$ièmes d'un complexe quelconque ?

Les $e^{K i\pi}$ sont exactement $-1$ et $1$… et aucun des deux n'est solution.

Factoriser un polynôme en produit de polynômes de degré 1, c'est exactement la même difficulté que trouver ses racines. Il se trouve qu'on démontre qu'il n'y a pas de méthode générale au-delà du degré 4 (et celles de degré 3 et 4, tu n'es en général pas censé·e les connaitre de toute façon). Donc si tu as un polynôme de degré 6, il faut que tu aies des astuces.

Ici, l'équation $z^6 + 1 = 0$ se ramène à $z^6=-1$, équation que tu dois savoir résoudre en utilisant ton cours sur les racines de l'unité.

Si jamais ce n'est pas le cas, la méthode de toscan (trouver deux racines particulières, factoriser avec ces racines (ie par $(z-i)(z+i)$) et factoriser le reste qui est un polynôme de degré 4 bicarré) est possible, mais c'est assez lourd.

Ça, je ne vois pas du tout en quoi ça aide…

Parce que ça se ramène aux racines $12$-ième de l'unité. Mais bon, passer d'une racine de l'unité à la racine d'un nombre complexe quelconque, c'est pas la mer à boire.

D'accord.. J'ai trouvé grâce à vos techniques :). Lorsqu'on a un polynôme un peu plus complexe comme ${z^7} - {z^6} + z - 1$ , faut essayer de trouver une racine évidente et puis faire du Horner/division euclidienne obligatoirement ?

Merci beaucoup