Décomposition de polynômes

L'auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Auteur du sujet

Hello à tous,

Je dois décomposer un certain nombre de polynômes en produit avec le degré 1. Par exemple, je dois décomposer ${z^6} + 1$ . Deux racines sont évidentes ($ \pm i$ ). mais je ne vois pas comment trouver les autres. Au début, j'étais parti sur Horner (et donc le faire plusieurs fois) mais ça me donne pas grand chose.

Merci d'avance!

+0 -0
Staff

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Dans ce genre de polynômes, il est bon de se servir des racines de l'unité. Tu auras un peu de manipulation pour opposer le signe, mais ça revient à ajouter un angle $\pi$.

En tout cas, c'est comme ça que je procèderais.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

+1 -0
Staff

Il y a aussi les $e^{K i\pi}$. Mais comme ça ne se devine pas quand on ne l'a jamais vu, j'imagine que ce n'est pas ça qu'on attend de toi.

Hier, dans le parc, j'ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

+0 -0

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Penser aux racines de l'unité me parait aussi être la meilleure idée.

Sinon, on factorise et on trouve $z^6 + 1 = (z-i)(z+i)(z^4 - z^2 + 1)$, ça fait apparaitre une équation bicarrée pas trop dure à résoudre.

Édité par Nobody

+2 -0

Il y a aussi les $e^{K i\pi}$. Mais comme ça ne se devine pas quand on ne l'a jamais vu, j'imagine que ce n'est pas ça qu'on attend de toi.

Gabbro

Les $e^{K i\pi}$ sont exactement $-1$ et $1$… et aucun des deux n'est solution.

Je dois décomposer un certain nombre de polynômes en produit avec le degré 1. Par exemple, je dois décomposer ${z^6} + 1$ . Deux racines sont évidentes ($ \pm i$ ). mais je ne vois pas comment trouver les autres. Au début, j'étais parti sur Horner (et donc le faire plusieurs fois) mais ça me donne pas grand chose.

ZDS_M

Factoriser un polynôme en produit de polynômes de degré 1, c'est exactement la même difficulté que trouver ses racines. Il se trouve qu'on démontre qu'il n'y a pas de méthode générale au-delà du degré 4 (et celles de degré 3 et 4, tu n'es en général pas censé·e les connaitre de toute façon). Donc si tu as un polynôme de degré 6, il faut que tu aies des astuces.

Ici, l'équation $z^6 + 1 = 0$ se ramène à $z^6=-1$, équation que tu dois savoir résoudre en utilisant ton cours sur les racines de l'unité.

Si jamais ce n'est pas le cas, la méthode de toscan (trouver deux racines particulières, factoriser avec ces racines (ie par $(z-i)(z+i)$) et factoriser le reste qui est un polynôme de degré 4 bicarré) est possible, mais c'est assez lourd.

On a $z^{12} - 1 = (z^6 + 1)(z^6 - 1)$. Mais sinon, ne sais-tu pas trouver les racines $n$ièmes d'un complexe quelconque ?

Hébé

Ça, je ne vois pas du tout en quoi ça aide…

+0 -0
Staff

On a $z^{12} - 1 = (z^6 + 1)(z^6 - 1)$. Mais sinon, ne sais-tu pas trouver les racines $n$ièmes d'un complexe quelconque ?

Hébé

Ça, je ne vois pas du tout en quoi ça aide…

Mouton

Parce que ça se ramène aux racines $12$-ième de l'unité. Mais bon, passer d'une racine de l'unité à la racine d'un nombre complexe quelconque, c'est pas la mer à boire.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

+0 -0
Auteur du sujet

D'accord.. J'ai trouvé grâce à vos techniques :). Lorsqu'on a un polynôme un peu plus complexe comme ${z^7} - {z^6} + z - 1$ , faut essayer de trouver une racine évidente et puis faire du Horner/division euclidienne obligatoirement ?

+0 -0
Staff

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Essayer de trouver les racines évidentes c'est toujours une bonne idée.

Après, c'est au cas par cas quand le polynôme est de degré un peu grand (plus que 2, il vaut mieux se poser quelques questions). Typiquement, là

$$ (z^7-z^6+z-1) = (z-1)(z^6+1) $$

ça donne une forme vraiment facile à exploiter (avec les racines de l'unité).

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

+1 -0
Vous devez être connecté pour pouvoir poster un message.
Connexion

Pas encore inscrit ?

Créez un compte en une minute pour profiter pleinement de toutes les fonctionnalités de Zeste de Savoir. Ici, tout est gratuit et sans publicité.
Créer un compte