Limite d'une suite

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Auteur du sujet

Hello à tous,

J'ai des questions sur les limites de suites. Je dois calculer la limite suivante: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{6{n^2} + 1}}$

en utilisant la définition de la limite. C'est "obvious" que c'est 0 mais je ne vois pas comment utiliser cette définition. Tout d'abord j'ai vu sur internet cette définition: $\left| {{x_n} - l} \right| \le \varepsilon ,\forall \varepsilon > 0$ (exo7Maths) mais dans mon cours il a bien insisté sur l'inégalité stricte $\left| {{x_n} - l} \right| < \varepsilon ,\forall \varepsilon > 0$ , quelle est la forme juste ?

Je peux partir du principe que 0 est la limite mais même comme ça je ne vois pas comment faire $\left| {\frac{1}{{6{n^2} + 1}} - 0} \right| < \varepsilon $

Si vous pouviez m'expliquer un peu comment ça marche car j'ai du mal à comprendre ceci.. Après on me demande des choses comme donner une valeur de ${N_\varepsilon }$ pour certaines valeurs de epsilon.

Aussi, pensez-vous que je dois "oublier" toutes les règles de limites apprises à l'école (lycée) et ne retenir que celle-ci ? Je me doute que pour le moment on a des suite encore "gentilles" mais je suis pas si pour la suite il vaut mieux oublier les anciennes règles et travailler avec la définition.

Merci d'avance :)

Édité par ZDS_M

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mais dans mon cours il a bien insisté sur l'inégalité stricte

Je ne comprends pas pourquoi vu que le résultat est le même.

Concernant la notion de limite, peut-être ce cours peut-il t'aider ?

Intuitivement, une suite $u$ tend vers une limite $l$ si pour tout réel $\epsilon$ strictement positifs, les termes de $u$ sont à une distance inférieure à $\epsilon$ de $l$ à partir d'un certain rang.

Pour reprendre ton exercice, tu veux montrer une propriété vraie pour tout $\epsilon$ strictement positif. Tu en prends donc un quelconque et prouves qu'il existe un rang à partir duquel les termes de la suite sont "proches" de $0$, proches au sens "à une distance inférieure à $\epsilon$".

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

L'inégalité stricte ou large, ça ne change rien. La définition de la limite d'une suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ réelle de limite $\ell\in\mathbb R$ est la suivante :

$$\forall \epsilon>0, \exists N\in\mathbb N, \forall n\ge N, |u_n-\ell| < \epsilon$$

Avant de répondre à ta question sur la limite de la suite dans ton cas particulier, quelques mots sur le « inférieur strict » ou « inférieur ou égal ». Cela ne change rien, en fait : de toute façon, c'est quel que soit $\epsilon$. Je ne dis pas les choses formellement parce que ça ne servirait à rien à la compréhension. L'idée est que si tu demandes $|u_n-\ell| \le \epsilon$, tu peux remplacer $\epsilon$ par un autre $\epsilon$ légèrement plus petit, qui rendra l'inégalité sricte. Et ceci est possible car la définition commence par « quel que soit $\epsilon$ ».

Dans ton cas, il s'agit de démontrer que la limite de $u_n = \frac{1}{6n^2+1}$ est égale à $0$. Il s'agit donc, vue la définition, de trouver un entier $N$ pour lequel $\frac{1}{6n^2+1} < \epsilon$ ; les valeurs absolues ne servent pas car tous les termes sont positifs. La suite $(u_n)_n$ étant décroissante, il suffit de trouver un $N$ convenable, et la propriété $u_n<\epsilon$ sera vraie pour tous les $n\ge N$. Le $N$ en question, évidemment, dépendra de $\epsilon$. Là, on doit avoir $6N^2 + 1 > \frac{1}{\epsilon}$. À toi de trouver un $N$ qui convient.

Ajout — Ah, aussi, quelques remarques formelles. Attention à l'ordre de tes quantificateurs dans les phrases formelles : tu n'as pas le droit d'écrire $|u_n-\ell| < \epsilon, \forall\epsilon>0$, car les variables quantifiées sont muettes donc doivent être définies avant. C'est un abus très pratiqué, y compris dans les livres, mais ce n'est pas correct. A priori, ça n'a pas d'importance, mais en fait dans de nombreux cas, l'ordre des quantificateurs est absolument crucial. Surtout lorsque l'on calcule des limites : pour le moment, tu travailles avec des suites à valeurs réelles, donc ce n'est pas trop gênant. Mais dans des cas plus compliquées, il peut y avoir plusieurs notions de limites différentes, et là l'ordre des quantificateurs joue un rôle important. Autant prendre les bonnes habitudes dès le début. ;)

Édité par c_pages

J'imagine que ton cours a plutôt insisté sur le fait que l'inégalité sur ε est stricte. Après, il se trouve qu'ici l'inégalité sur $|x_n - l|$ peut être stricte ou large, ça ne change rien1, mais perso je préfère l'avoir large car dans le cas plus général (continuité d'une fonction en un point), ça serait bizarre de la prendre stricte (et puis ça ne fonctionnerait pas).

edit : n'oublies pas ce que tu comprends mais lies-le à ce qu'on te présente.

edit :

Intuitivement, une suite u tend vers une limite l si pour tout réel ϵ strictement positifs, les termes de u sont à une distance inférieure à ϵ de l à partir d'un certain rang.

J'ai l'impression que c'est juste la formule dite à l'oral, mais je ne sais pas si je saurais mieux formuler. Je dirais que l'on peut rendre $u_n$ aussi proche de sa limite que l'on veut en minorant (contrôlant) $n$ (et c'est à lier avec la continuité : on peut contrôler l'erreur d'arrivée en contrôlant l'erreur de départ).


  1. Comme le dit c_pages, c'est dû au fait que l'on peut toujours trouver une boule ouverte strictement comprise dans une autre. 

Édité par Hébé

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Auteur du sujet

C'est beaucoup plus clair! Du coup, quand je dois trouver mon $N$ je dois poser des valeurs de $\varepsilon $ ? Dans cet exemple, j'exprime $N$ en fonction de $\varepsilon $ ce qui donne $N > \sqrt {\frac{1}{{6\varepsilon }} - \frac{1}{6}} $ en faisant gaffe que N est un entier naturel. Du coup, si $\varepsilon = 1 $ , $N > 0$ –> N = 1. Est-ce bien cela à faire ? Aussi, il existe une infinité de N et on choisit celui qu'on "veut" ?

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Il doit, par définition, exister une infinité de $N$. En effet, la définition dit que pour tout $\epsilon>0$, il existe un $N$ tel que pour tout $n\ge N$, blablabla. Mais du coup, si tu trouves un $N$ convenable, tous les entiers supérieurs fonctionneront également.

Et en effet, si tu choisis $\epsilon = 1$, l'entier $N = 1$ marche. Et de fait, pour tout entier naturel $n\ge 1$, il est vrai que $\frac{1}{6n^2+1} < 1$.

Staff

Parce qu'on a pas vraiment besoin de préciser. Si on donne une condition de minoration sur $N$ ça suffit, puisque des entiers on en a d'aussi grands qu'on veut.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Staff

Oui, mais autant déterminer explicitement un entier N qui marche,

Mouais, on s'en fiche un peu non ? Et puis dire que c'est le plus petit qui vérifie une condition, ça n'apporte rien de plus.

Ce genre d'exercice est intéressant pour voir comment ça marche dans le détail. Mais dans la vraie vie, ce qui compte c'est ce qu'on peut faire avec les opérations.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Je disais ça pour le fait que N ∈ ℕ et pour la minoration précise de N. Je ne savais pas trop comment le tourner mais Holosmos l'a bien dit. On essaie justement de s'abstraire de tels détails, je crois. Si on a un polynôme de degré 6, pas besoin de résoudre l'équation pour minorer précisément. Enfin, là ça concerne sûrement le début d'un cours, donc c'est peut-être « normal » que ZDS_M écrive ça, je ne sais pas.

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Oui, oui on est bien d'accord. ;) Mais manifestement, il s'agit d'un exercice de calcul de limite avec la définition formelle.

Quand on travaille sur un problème, effectivement, on ne va jamais s'amuser à calculer précisément ce genre de choses. Mais c'est bien de mettre les mains dans le cambouis une fois de temps en temps, surtout au début pour bien comprendre le phénomène dans les détails.

Auteur du sujet

Merci à tous ! Effectivement c'est un début de cours haha :) Je vois maintenant comment utiliser la définition dans ce genre de cas. Cependant, doit-on toujours utiliser la même définition pour montrer qu'une suite diverge ? Je dois montrer que la suite (xn) est divergente. Je me suis dit qu'il faut qu'elle ne pas convergente. ${x_n} = n.\sin (n\frac{\pi }{2})$ Au lycée, j'avais pour habitude d'utiliser le Th. des Gendarmes avec des fonctions trigonométriques et je pense que ça doit fonctionner mais avec la définition formelle, je ne vois pas :o

Édité par ZDS_M

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Staff

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Tu peux supposer qu'elle est convergente et montrer une contradiction. Tu auras donc :

  • supposons qu'elle converge
  • il existe donc pour tout $\epsilon$ un $N$ tel que $\forall n \geq N$ blabla
  • ensuite tu cherche un $N_2$ plus grand que $N$ qui ne respecte pas la propriété (blabla)
  • tu as donc une contradiction
  • la suite ne converge donc pas.

EDIT: Sinon en plus direct, montrer directement l'inverse de la convergence.

$$\exists \epsilon, ... $$

Édité par Aabu

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Staff

Heu .... non. La divergence c'est pas la négation de la convergence....

Une suite diverge si son terme général tend vers une valeur infinie.

Exemple d'un terme général d'une suite qui ne converge pas et ne diverge pas : $(-1)^n$

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Staff

Une suite diverge si son terme général tend vers une valeur infinie.

Holosmos

Et bien on n'a pas la même définition. J'ai trouvé plein de sources sur Internet (y compris de quoi préparer le CAPES et l'agrég interne) en 5 minutes de recherche. Toutes disent : "Une suite numérique non convergente est dite divergente".

S'il s'agit de prouver quelle est la limite, c'est une autre histoire…

Édité par Aabu

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Staff

C'est idiot comme définition. Une suite qui a son terme qui tend vers $\pm \infty$ est convergente vers un point de compactification. Alors qu'une suite qui a plusieurs valeurs d'adhérence ne sera jamais convergente dans une topologie aussi fine.

Mais bon, si vous dites que c'est commun dans ces années là … pourquoi pas mais je trouve ça profondément débile. Mea culpa alors. En tout cas j'ai jamais utilisé le terme "divergent" pour un cas de figure où il y a plusieurs valeurs d'adhérence, ça doit rester une dénomination peu utilisée si elle reste jusqu'en prépa agreg …

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Je croyais pareil, mais je ne trouve aucune source. Mais ce n'est pas très important non plus.

@ZDS_M : vois-tu à quoi ressemble la suite ? Le théorème des gendarmes, c'est pour montrer une convergence. Mais l'idée se généralise peut-être pour s'appliquer à cet exo, je ne sais pas. Autre exo : pareil mais en supprimant le $\pi/2$, puis en supprimant le $n$ en facteur (et montrer que la suite se répartit sur $[-1,1]$ (avec quelles proportions ?) ; indice : revenir au sens géométrique du sinus).

edit : on diverge du sujet. ^^

Édité par Hébé

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