Nombres complexes

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Auteur du sujet

Bonjour,

Je voulais savoir comment faire cet exercice. Déterminer le nombre de solution de l'équation complexe: $\left| z \right| = {z^5}$

Intuitivement je dirais 5 ou 6. J'ai posé $z = a + ib$ mais je vois pas comment dire quoi que ce soit car je tombe sur ${a^2} + {b^2} = {(a + ib)^7}$

Merci.

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Est-ce que tu connais la forme exponentielle des nombres complexes $z = r e^{i\theta}$ ? (ou bien encore sa variante, quand on l'écirs $ z = [r, \theta] $ )

Ich bin très occupé cette année. Ne vous étonnez pas si je réponds par intermittence.

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Auteur du sujet

Est-ce que tu connais la forme exponentielle des nombres complexes $z = r e^{i\theta}$ ? (ou bien encore sa variante, quand on l'écirs $ z = [r, \theta] $ )

Goeland-croquant

Oui bien sûr. Ca donnerait ceci $\left| z \right| = {z^5} \to r = {(r)^{1/5}}.{e^{i(\frac{\alpha }{5} + \frac{{2\pi k}}{5})}}$ mais je vois pas en quoi ça aide :/

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Ça t'aide parce que c'est beaucoup plus simple quand il s'agit de multiplication que l'écriture cartésienne a +ib.

Ensuite, il suffit d'un peu d'astuce. $r$ appartient à quel ensemble ? (en clair, quelle est sa nature). Et ça peut aider à trouver une condition nécessaire sur la valeur de $\alpha$. Et égaleement des conditions sur $r$.

Ich bin très occupé cette année. Ne vous étonnez pas si je réponds par intermittence.

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Auteur du sujet

$r$ est un réel strictement positif. L'argument l'est aussi dans ce cas et du coup on 5 solutions distinctes ? Est-ce que dans ce genre d'exos c'est utile de prendre des exemples pour voir vers quoi on se dirige ?

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Oublie cette histoire du nombre de solutions, on s'en fout pour le moment. Regarde ton équation. Tu as un réel qui est égal à un complexe. Qu'est-ce que ça impose sur l'argument de ce complexe ? La condition obtenue te donne une condition sur $\alpha$. Pour trouver une condition sur $r$ tu peux passer au module de chaque côté.

Essayer de deviner le nombre de solutions ou utiliser des exemples n'amène à rien dans ce genre d'exercice. Tout au plus tu peux te faire une idée de la tête des solutions.

Édité par anonyme

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Auteur du sujet

Donc je devrais avoir un argument $\alpha \)$ pair, en d'autres termes un multiple $2\pi k$ , k entier. Donc pour savoir le nombre de solutions, je regarde $r = {r^{1/5}}{e^{i(\frac{\alpha }{5} + \frac{{2\pi k}}{5})}}$ et je cherche combien de valeurs de k sont entières pour avoir $\alpha \)$ pair ?

Edit: Mais le fait de voir cet exposant 5 te donnes une idée qu'il y a aux alentours de 5 solutions, non?

Édité par sotibio

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C'est pas une histoire de parité mais plutôt que l'argument doit être congru à 0 modulo $2\pi$. Et c'est pas l'exposant 5 qui te donne le nombre de solutions. Ke préfère essayer d'éviter de deviner parce que j'ai tendance à me planter quand je fais ça.

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Oui mais non : 0 a une infinité d'argument, c'est vrai, donc la notion d'unicité de l'angle $\alpha$ n'existe pas. Mais ça n'empêche en rien que $r$ soit nul ici.

Ich bin très occupé cette année. Ne vous étonnez pas si je réponds par intermittence.

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Je vois pas ce qui te gêne. On a une équation portant sur un complexe $z$. On écrit ce complexe en forme trigonométrique: $z = re^{i\theta}, r \in \mathbb{R}_*^+, \theta \in [0,2\pi]$. Par définition $r \neq 0$.

Édité par anonyme

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Auteur du sujet

Merci. J'ai essayé de faire les calculs et je pensais avoir compris mais en fait non. En fait j'ai dis que si R = 0 on a la solution triviale. Si x > 0,

$\frac{r}{{{r^{1/5}}}} = {e^{i(\frac{\alpha }{5} + \frac{{2\pi k}}{5})}}$

Et je cherche le nombre de "k" pour lesquels on sera congrus à module 2pi. Il est évident que si k = 2, c'est bon car on a pi, idem pour k = 7, k =12, etc. Par contre pour k = 12 et k = 7 (et aussi k=2) c'est les même car $3\pi = 2\pi + \pi $ du coup je vois pas trop comment on peut dire qu'il y a 6 solution car comme ça j'aurais dis 2 solutions (une étant triviale et l'autre avec arg = pi).

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Je ne comprends pas ce que tu essaies de faire avec ton $k$ et ton $\alpha$, tu écris ton complexe sous la forme $re^{\imath\theta}$ avec $r$ positif et $\theta$ quelconque.

Ta condition de départ est $|z|=z^5$ qui se réécrit $r=r^5e^{\imath 5\theta}$. $r=0$, donc $z=0$ est trivialement une solution, ensuite tu supposes $z\neq 0$, donc $r$ strictement positif. Ton expression devient donc $1=r^4e^{\imath 5\theta}$, je te laisse conclure à partir de là.

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