Rigueur d'une rédaction, d'un raisonnement

Quantificateurs

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Auteur du sujet

Bonjour,

J'ai fait un exercice trouvé sur un forum il y a quelque temps, et j'ai quelques questions au sujet de la réponse que j'avais formulé. L'énoncé est le suivant :

Soit $\ell$ et $M$ deux réels et $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite de réels majorée par $M$ qui converge vers $\ell$. Démontrez que $\ell\leq M$.

Ma résolution :

Soient $\ell$ et $M$ deux réels et $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite de réels majorée par $M$, et qui converge vers $\ell$. Montrons que $\ell\leq M$.

$(u_n)$ est majorée par $M$ : $\forall n \in \mathbb{N}, \: u_n \leq M$.
$(u_n)$ est convergente : $\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^{*}_+, \: \exists n_0 \in \mathbb{N}, \: \forall n \geq n_0, \: \ell + \varepsilon > u_n > \ell - \varepsilon$.

Supposons $\ell > M$. On a alors :

$\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^{*}_+, \: \varepsilon < \ell - M, \: u_n > l - \varepsilon > M$.
Et à fortiori $u_n > M$, en contradiction avec le fait que $(u_n)$ est majorée par $M$.

Donc $\ell \leq M$.


Alors mes questions maintenant !

  • Pensez-vous que ma démonstration soit valide ?

  • Comment interprétez-vous

    $$\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^{*}_+, \: \varepsilon < \ell - M, \: u_n > l - \varepsilon > M$$
    ? Personnellement je le lis comme "Pour tout $\varepsilon$ de $\mathbb{R}^{*}_+$ tel que $\varepsilon < \ell - M$ on a $u_n > l - \varepsilon > M$". Cependant, il semblerait que mon écriture soit confuse. Y aurait-t-il une manière plus adéquat de l'écrire ? C'est surtout l'écriture du "tel que" qui me pose problème.

  • De même, puis-je écrire ($P(n)$ étant une propriété), par exemple : $\forall n \in \mathbb N, \: n \geq 4, \: P(n)$
    Pour dire : "Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $4$, la propriété $P(n)$ est vraie".
    Écrire "$\forall n \in \mathbb N, \: n \geq 4$ est-il ambiguë / faux ?

  • Sans rapport avec la démonstration présentée ci-dessus. On a $(u_n)$ une suite réelle qui vérifie la propriété : "Pour tout naturel $n$ supérieur ou égal à $7$, on a $0,4999 \leq u_n \leq 0,5$".
    Peut-on écrire cela ainsi : " $( \forall n \in \mathbb N, \: n \geq 7)\Rightarrow0,4999\leq u_n\leq0,5$ " ?

C'est à peu près tout je crois. J'éditerai si je vois quelque chose à rajouter.

Merci pour votre aide !

Édité par Sylve

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L'idée de la démonstration est correcte il me semble, mais tu cafouille sur les $\forall$ qui n'en sont pas vraiment à chaque fois.

Exemple : "$\forall n \in \mathbb N, n \ge 7$". C'est contradictoire. Tu dis que $n$ peut être tous les entiers naturels, puis ensuite tu dis que non puisque tu élimines $[[0, 6]]$. J'écrirais simplement $n \in \mathbb N, n \ge 7$. Je pense que l'écriture $n \in [[7, +\infty[[$ marche aussi.

Idem pour la démonstration : $\forall \varepsilon \in \mathbb R_+^*, \varepsilon < l - M, u_n > l- \varepsilon > M$, la condition $\epsilon < l - M$ ne convient pas avec le $\forall \epsilon \in \mathbb R_+^*$.

Ne confond pas les $\forall$, les $\exists$ et les "simples" $n \in \mathbb N, \varepsilon \in \mathbb R$. :)

La formulation correcte serait il me semble :

Supposons $ l > M$. On a alors :

$$\exists \varepsilon \in \mathbb R_+^*, \varepsilon < l - M, u_n > l - \varepsilon > M $$

Et à fortiori $u_n > M$, en contradiction avec le fait que $(u_n)$ est majorée par M.

Donc $ l \leq M $.

Après j'ai une question moi aussi. J'ai souvent vu écrire "tq" pour "tel que" dans certains théorèmes. Est-ce que c'est acceptable comme notation ? On m'a parfois dit que le virgule est un équivalent du "tel que".

Édité par Gwend@l

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Staff

Pour le « tel que » écrire un symbole d'implication ça marche très bien aussi et ça évite de faire l'erreur d'écrire du français au milieu de langage mathématique.

Par exemple :

$$ \forall n\in \mathbf{N} \; (n\geq 7 \implies n \geq 3) $$

Sinon je comprends pas pourquoi vous voulez tout écrire en symboles mathématiques. Le langage français permet aussi d'écrire plein de choses, et avec plus de clarté pour de tels raisonnements.

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

+3 -0

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

$\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^{*}_+, \: \varepsilon < \ell - M, \: u_n > l - \varepsilon > M$.

Que vaut $n$ ? Comment déduis-tu cela ? Même question pour la phrase qui suit. L'idée est la bonne, mais il manque des trucs (en plus de la notation qui ne va pas bien). Quelles hypothèses sont utilisées où ?

D'ailleurs, je suis de l'avis d'Holosmos. C'est bien de pouvoir considérer les formules comme des objets mathématiques, avec tout plein de propriétés etc. mais je crois que le but est au moins autant d'avoir un modèle clair de ce que l'on fait que de pouvoir s'exprimer. Ce modèle clair influence ce que l'on fait, avec des constructions standards, même si c'est en français.

On m'a parfois dit que le virgule est un équivalent du "tel que".

C'est le cas quand on a un « ∃ blabla, bloblo » (enfin, c'est comme ça que la virgule se lit).

Peut-on écrire cela ainsi : "$(\forall n \in {\mathbb N}, n \geq 7) \implies 0,4999 \leq u_n \leq 0,5$" ?

C'est mal parenthésé. Là, ton expression est composée de deux parties : $\forall n \in {\mathbb N}, n \geq 7$ qui implique $0,4999 \leq u_n \leq 0,5$. Ça a du sens (avec une variable libre), mais ce n'est pas ce que tu veux dire. Ce serait $\forall n \in {\mathbb N}, \left(n \geq 7 \implies 0.4999 \leq u_n \leq 0.5\right)$.

Ou alors $\forall n \in [\![7, +\infty[\![, 0.4999 \leq u_n \leq 0.5$ comme le dit Gwend@l (il faut ne conserver que les éléments de $\mathbb N$ qui vérifient la propriété).

J'écrirais simplement $n \in {\mathbb N}, n \geq 7$.

Je ne vois pas ce que tu veux dire.

Édité par blo yhg

+1 -0
Staff

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Je n'ai pas eu le temps plus haut mais voilà un commentaire ligne à ligne.

Soient $\ell$ et $M$ deux réels et $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite de réels majorée par $M$, et qui converge vers $\ell$. Montrons que $\ell\leq M$.

Bonne phrase d'introduction. Garde cette habitude, elle est très bonne.

$(u_n)$ est majorée par $M$ : $\forall n \in \mathbb{N}, \: u_n \leq M$.

Bon, première critique, tu as supprimé une partie de l'expression à $(u_n)_{n\in \mathbf{N}}$, ce qui est rigoureusement faux mais compréhensible (donc à éviter si possible, mais c'est pas la catastrophe si tu fais ça). Deuxième remarque : on n'aligne pas une expression en langage naturel avec une en langage mathématique. On devrait plutôt écrire (devrait parce que ça fait un peu débat) :

$(u_n)_{n\in \mathbf{N}}$ est majorée par $M$, ce qui signifie :

$$\forall n\in \mathbf{N} \; u_n\leq M. $$

Et n'oublie pas le « . » a la fin. Une phrase avec du langage naturel se termine toujours par un point. La ponctuation est quand même présente dans les expressions en langage mathématique.

$(u_n)$ est convergente : $\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^{*}_+, \: \exists n_0 \in \mathbb{N}, \: \forall n \geq n_0, \: \ell + \varepsilon > u_n > \ell - \varepsilon$.

Même remarque que précédemment.

Supposons $\ell > M$. On a alors :

$\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^{*}_+, \: \varepsilon < \ell - M, \: u_n > l - \varepsilon > M$.

Il faut que tu revoies ta grammaire, ton expression mathématique n'a pas de sens. L'expression juste la plus proche que ce que tu as essayé d'écrire est :

$$ \forall \epsilon >0, \; (\epsilon < \ell - M \implies u_n > l - \epsilon >M) $$

Et à fortiori $u_n > M$, en contradiction avec le fait que $(u_n)$ est majorée par $M$.

Donc $\ell \leq M$.

Pas besoin de revenir à la ligne.

  • Pensez-vous que ma démonstration soit valide ?

L'idée est la bonne, la rédaction est mauvaise.

  • Comment interprétez-vous
    $$\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^{*}_+, \: \varepsilon < \ell - M, \: u_n > l - \varepsilon > M$$
    ? Personnellement je le lis comme "Pour tout $\varepsilon$ de $\mathbb{R}^{*}_+$ tel que $\varepsilon < \ell - M$ on a $u_n > l - \varepsilon > M$". Cependant, il semblerait que mon écriture soit confuse. Y aurait-t-il une manière plus adéquat de l'écrire ? C'est surtout l'écriture du "tel que" qui me pose problème.

Dit plus haut. Tu dois réapprendre à écrire en langage mathématique. La virgule n'a pas vocation à dire « tel que », c'est uniquement une aide à la lecture (pour avoir plus de détachement entre les quantifications).

Pour dire tel que tu peux utiliser l'implication par exemple.

  • De même, puis-je écrire ($P(n)$ étant une propriété), par exemple : $\forall n \in \mathbb N, \: n \geq 4, \: P(n)$
    Pour dire : "Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $4$, la propriété $P(n)$ est vraie".
    Écrire "$\forall n \in \mathbb N, \: n \geq 4$ est-il ambiguë / faux ?

Ce n'est pas ambigu mais c'est faux. Tu devrais écrire :

$$ \forall n\geq 0, \; (n\geq 4\implies P(n)) $$

  • Sans rapport avec la démonstration présentée ci-dessus. On a $(u_n)$ une suite réelle qui vérifie la propriété : "Pour tout naturel $n$ supérieur ou égal à $7$, on a $0,4999 \leq u_n \leq 0,5$".
    Peut-on écrire cela ainsi : " $( \forall n \in \mathbb N, \: n \geq 7)\Rightarrow0,4999\leq u_n\leq0,5$ " ?

Même histoire. Remplace $P(n)$ par ta propriété et tu as ta réponse.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Merci beaucoup à vous tous ! J'y vois déjà plus clair. Vos conseils vont probablement me permettre de ne pas prendre de telles mauvaises habitudes. Bon, cette année (TS) pas tellement de rigueur est demandée, mais à l'avenir savoir bien rédiger sera probablement très utile. Je vais y réfléchir à nouveau, merci encore.

Édité par Sylve

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Plus généralement, tu peux prouver le passage aux limites dans les inégalités.

Soient deux suites $u$ et $v$ qui convergent respectivement vers $\ell$ et $\lambda \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$.

$$\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq v_n \quad \Longrightarrow \quad \ell \leq \lambda$$

(La rédaction est très excessive volontairement ;) )

Édité par QuanticPotato

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Si je peux me permettre de dire quelque chose, étant maintenant en première année dans le supérieur je me rend compte que les Mathématiciens détestent les quantificateurs. Le premier jour, le prof d'Analyse nous a dit "oubliez les quantificateurs mathématiques, c'est pour les paresseux et ceux qui veulent rendre les mathématiques incompréhensibles". Après, très personnellement j'aime bien les utiliser et ça m'aide à comprendre plus rapidement :D

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Staff

Là où il a raison c'est que personne n'a jamais su parler le langage mathématique. On perd un temps fou à traduire en langage naturel ce qu'on lit en langage mathématique.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Même si c'était pas le but, vous n'avez pas identifié la "vraie" raison (je pense) : la fonction ≤ est continue (vue de la bonne manière). Autrement dit, {(x,y) ∈ ℝ² | x ≤ y} est fermé. Ça se voit avec juste des compositions de fonctions continues.

D'ailleurs on peut même caractériser la topologie usuelle de ℝ en disant que c'est la plus générale telle que ≤ et ≥ sont continues (deux fonctions de ℝ² vers {0,1} muni de la bonne topologie, soit deux couples (ouvert,fermé) partitionnant ℝ²).

Édité par blo yhg

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L'énoncé est topologique à la base, non ? Sinon ma manière de dire était peut-être "too much", surtout concernant la continuité de ≤, mais l'idée est juste de considérer une suite de points au lieu de deux suites. Si ça reste tout le temps en dessous de ou sur la première diagonale (x=y), alors c'est vrai pour la limite. On voit même que c'est exactement ce que fait l'autre preuve, mais avec moins d'abstraction et sans visualisation : des ε, en redémontrant qu'une suite convergente à valeur dans un fermé converge dedans, le tout mixé avec la démo que l'ensemble sous la première diagonale (inclusivement) est fermé.

C'était juste pour dire qu'avec les bonnes notions, ça se démontre sans détail de rédaction (tout en disant la même chose si on « dépaquette » les définitions).

Même si l'énoncé paraît simple, la construction ne l'est pas

Je ne suis pas certain de comprendre.

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Oula. Autant je comprenais l'énoncé de départ, autant le paragraphe sur la topologie j'y ai rien capté. Vous êtes certain que cette façons de voir est adaptée à un cours de TS ?

Édité par Gwend@l

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Ah, je pensais que la question de l'OP était plutôt un truc de L1. Mais sinon Gwend@l peut comprendre. On a deux suites. À la place de les considérer comme deux points sur la droite réelle (deux points qui bougent par étapes), on les considère comme un point sur le plan (avec les coordonnées cartésiennes). Maintenant, si ce point reste tout le temps en-dessous de ou sur la droite d'équation x=y, et qu'il tend vers un certain point (même intuition que pour une suite), alors j'imagine que c'est intuitif que le point limite est aussi en-dessous de ou sur la droite d'équation x=y. Eh bien cette intuition se précise et c'est la même chose que la preuve que tu comprends !

Sinon, on peut aussi considérer la différence entre les deux suites et voir que c'est toujours inférieur à 0, donc la limite aussi (géométriquement, ça revient à considérer la « distance orientée » entre le point et la droite, et voir que c'est toujours du même côté).

+0 -0
Staff

L'énoncé est topologique à la base, non ? Sinon ma manière de dire était peut-être "too much", surtout concernant la continuité de ≤, mais l'idée est juste de considérer une suite de points au lieu de deux suites. Si ça reste tout le temps en dessous de ou sur la première diagonale (x=y), alors c'est vrai pour la limite. On voit même que c'est exactement ce que fait l'autre preuve, mais avec moins d'abstraction et sans visualisation : des ε, en redémontrant qu'une suite convergente à valeur dans un fermé converge dedans, le tout mixé avec la démo que l'ensemble sous la première diagonale (inclusivement) est fermé.

C'était juste pour dire qu'avec les bonnes notions, ça se démontre sans détail de rédaction (tout en disant la même chose si on « dépaquette » les définitions).

Même si l'énoncé paraît simple, la construction ne l'est pas

Je ne suis pas certain de comprendre.

ρττ

La topologie de $\mathbf{R}$ c'est pas une construction triviale. Quand il faut tout faire ça prend beaucoup de temps alors que là on a une preuve rapide et efficace. Je vois pas l'intérêt de faire un raisonnement topologique.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Il suffit de comprendre une fois, et ça devient plus beau, avec des trucs mieux organisés (et généralisables). Je trouve que ça éclaircit de voir le truc comme ça.

Mais c'est simplement mon goût personnel… Par exemple, je vois sur le forum que vous considérez qu'un quotient est l'ensemble des classes d'équivalences… Je ne comprends pas trop. Personne ne va se demander si 0 est égal à une fonction qui part de l'ensemble vide, c'est juste des constructions.

Concernant la topologie de ℝ, c'est quand même très lié à la construction de ℝ lui-même. Je vois mal comment on peut avoir ℝ détaché de sa topologie (ou son ordre, c'est pareil ici). Mais je ne sais pas si on parle de l'intuition ou des constructions précises. Je trouve ça tout à fait intuitif sinon.

Édité par blo yhg

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