Exercice d’équations différentielles partielles

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Hello,

Je bloque sur un de mes DMs.

Utiliser la méthode de séparation des variables pour résoudre l’équation suivante

$$ \dfrac{\delta w}{\delta t} - \dfrac{\delta^2 w}{\delta x^2} = 0, \qquad -\pi \leq x \leq \pi $$

sujette aux conditions

$$ w(x, 0) = 0, \qquad w(\pi, t) - w(-\pi, t) = 2\pi, \qquad w_x(\pi, t) - w_x(-\pi, t) = 0 $$

Je ne vois pas du tout comment commencer. J'ai bien essaye

Soit $w(x, t) = X(x)T(t)$, en utilisant les conditions, on obtient :

  • $w(x, 0) = X(x)T(0) = 0$

Donc $X(x) = 0$ ou $T(0) = 0$. Comme $X(x) = 0$ est la solution triviale de l’équation, nous allons prendre $T(0) = 0$.

  • $w(\pi, t) - w(-\pi, t) = X(\pi)T(t) - X(-\pi)T(t) = T(t)[X(\pi) - X(-\pi)] = 2\pi$

Donc $T(t)$ doit être constante et ainsi $T(t) = 0$.

Dans tout les cas, la solution est $w(x, t) = 0$.

Ma conclusion est que $w$ n'est pas de la forme $X(x)T(t)$.

Quelqu’un pourrait m'indiquer la ou je me trompe ?

Merci d'avance.

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Voici la methode generale de resolution (ton cas est un peu plus simple cependant):

  • Resolution de l'equation spectrale associe au Laplacien homogene, donc sans temps:

    1. Montre l'existence des solutions
    2. Separe les variables et joue sur les conditions aux bords et initiales pour trouver 2 deux equations differentielles ordinaire du second ordre.
    3. Resout, exprime en base propre les solutions (si besoin).
  • Resolution finale:

    1. Reinjecte les solutions dans l'equation initiale
    2. Cela fait apparaitre une EDO par rapport au temps qu'il est facile de resoudre (la technique lourde mais qui marche toujours c'est la variation de la constante).
    3. (pas dans ton cas vu que t'es homogene) Projection du second membre en base propre et reecriture de la solution avec ca.

Édité par KFC

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Ha bah c'est d'autant plus simple. En fait j'avais mal lu et je pensais qu'il y avait deux variables spatiales et une variable temporelle.

Du coup, $\omega = XT$, donc $\omega_t = XT'$ et $\frac{\delta^2 \omega}{\delta x^2} = X''T$. Cela permet de ré-écrire le problème:

$$XT' - X''T = 0$$

Autrement dit, $\frac X {X''} = \frac T {T'} = 0$ et donc $\frac X {X''} = \alpha$ et $\frac T {T'} = \beta$ avec $\alpha + \beta = 0$.

Tu résouds ces deux équations, ce qui doit donner brièvement:

  1. $T(t) = ce^{-\beta t}$ avec la constante à obtenir sur les conditions intiales.
  2. $X(x)=A\cos(\alpha \sqrt x)+B\sin(\alpha \sqrt x)$, ou $X(x)=Ax+Bx$ ou $X(x)=Ae^{−(\sqrt{−\alpha})x}+Be^{(\sqrt{−\alpha})x}$, en fonction du signe de $\alpha$ et avec les constantes à déterminer avec les conditions de l'énoncé.

Combine les deux et ça fait des chocapics.

Édité par KFC

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