Relativité - Transformation de Lorentz

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Auteur du sujet

Bonjour à tous,

J'ai du mal avec la relativité notamment avec ce problème (qui est censé être très facile…).

Vu dans le référentiel du laboratoire R, un électron est en mouvement le long de l’axe x selon la loi :

$x(t) = {x_0}\sin (\omega t + \phi )$ où ω = 3,2 x 1014 s-1 et φ = π/3 (radians). Son énergie cinétique oscille également de zéro jusqu’à la valeur maximum Km = 9,7 x 10-15 J.

(1) Quelle est la valeur de la norme de la vitesse au temps t = 0 s, mesurée dans un référentiel R’ qui se déplace à vitesse constante vR = 0,8c par rapport à R, dans la direction positive de l’axe x ?

Ca c'est bon. J'ai réussi en appliquant la formule de transformation de Lorentz suivant l'axe Ox. On trouve ${x_0} = {4,7.10^{ - 7}}m$ et finalement $v_x^' = - {2,1.10^8}m/s$

(2) Imaginez maintenant que l’électron n’oscille pas dans la direction x mais dans celle de l’axe y avec la même loi :

$y(t) = {y_0}\sin (\omega t + \phi )$

et les mêmes paramètres ω, φ et yo = xo . Trouvez la composante (au temps t = 0 s) de la vitesse dans la direction y’ (parallèle à y) du référentiel R’.

Le prof nous a pas donné les formules de transformations directement dans l'axe y du coup je dois la déduire. Et ici, j'ai un peu de mal.

$v_y^' = \frac{{d{y^'}}}{{d{t^'}}}$

$\to v_y^' = \frac{{d{y^'}}}{{d{t^'}}} = \frac{d}{{d{t^'}}}(\gamma ({t^'} - \frac{{{v_R}x}}{{{c^2}}})) = \gamma (1 - \frac{{{v_R}{v_x}}}{{{c^2}}})$

$\Rightarrow v_y^' = \frac{{{v_y}}}{{\gamma (1 - \frac{{{v_R}{v_x}}}{{{c^2}}})}}$

Et c'est surtout ici que je ne comprends pas c'est ça (ou pas ça) - enfin je ne vois pas continuer. Car en faisant ça je trouve $ \cong {1,1.10^8}m/s$ ce qui est faux.

EDIT: Je ne vois pas pourquoi les "maths" ne s'affichent pas correctement. Voici donc une photo: http://cl.ly/21083W333M3a . Désolé.

Merci d'avance! :)

Édité par ZDS_M

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Staff

Concernant les formules, le « ^' » ne passe pas bien, il faut faire « \prime ». Ça donne pour ta formule du bas :

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$v_y\prime = \frac{dy\prime}{dt\prime}$

$\to v_y\prime = \frac{dy\prime}{dt\prime} = \frac{d}{dt\prime}(\gamma (t\prime - \frac{v_Rx}{c^2})) = \gamma (1 - \frac{v_Rv_x}{c^2})$


$\Rightarrow v_y\prime = \frac{v_y}{\gamma (1 - \frac{v_Rv_x}{c^2})}$

$v_y\prime = \frac{dy\prime}{dt\prime}$

$\to v_y\prime = \frac{dy\prime}{dt\prime} = \frac{d}{dt\prime}(\gamma (t\prime - \frac{v_Rx}{c^2})) = \gamma (1 - \frac{v_Rv_x}{c^2})$

$\Rightarrow v_y\prime = \frac{v_y}{\gamma (1 - \frac{v_Rv_x}{c^2})}$

Pour le problème physique, mes connaissances de relativité datent, donc je vais peut-être dire une énormité, mais comme tes référentiels se déplacent l'un par rapport à l'autre dans la direction x, la vitesse dans la direction y est la même, je crois.

Édité par Gabbro

Hier, dans le parc, j'ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

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Si je ne me trompe pas (je suis un peu dans le flou avec toutes ces formules qui ne sont pas passées !), on te demande la vitesse selon $y'$ dans le référentiel $R'$.

Gabbro a à moitié raison, les coordonnées selon $y$ et $y'$ sont les mêmes lors d'une translation selon l'axe $x$, mais le temps est le temps dans $R'$ donc il y a bien un facteur relativiste dans la vitesse (mais le calcul sera plus rapide que selon $x$).

Qu'est-ce que tu appelles "la formule de transformation de Lorentz" ? C'est la transformée de Lorentz, en écriture matricielle ? Si oui elle te donne $(x', y', z', t')$ en fonction de $(x, y, z, t)$ et tu as tout ce qu'il te faut. :)

Édité par Itms

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Auteur du sujet

on te demande la vitesse selon $y'$ dans le référentiel $R'$.

Oui c'est bien ça! :)

Qu'est-ce que tu appelles "la formule de transformation de Lorentz" ? C'est la transformée de Lorentz, en écriture matricielle ? Si oui elle te donne $(x', y', z', t')$ en fonction de $(x, y, z, t)$ et tu as tout ce qu'il te faut. :)

Qu'est-ce que tu appelles "la formule de transformation de Lorentz" ? C'est la transformée de Lorentz, en écriture matricielle ? Si oui elle te donne $(x', y', z', t')$ en fonction de $(x, y, z, t)$ et tu as tout ce qu'il te faut. :)

Itms

Je n'ai pas de transformation matricielle (on l'a pas vue en tout - sauf pour Galilée) mais j'appelle par formule de Lorentz ceci:

$$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = \gamma (x - {v_R}t)\\ {t_1} = \gamma (t - \frac{{{v_R}x}}{{{c^2}}}) \end{array} \right.$$
, les notations sont triviales. Avec x1 = x' et t1 = t'

Je ne vois toujours pas ce qui est faux. Cependant, je me demande si c'est pas une erreur de signe quelque part (que je ne vois pas au passage) car j'ai lu dans un livre que la transformation suivant l'axe Oy est donnée par ${v_y}^1 = \frac{{{v_y}}}{{\gamma (1 + \frac{{{v_R}{v_x}}}{{{c^2}}})}}$ , où vy1 = vy' (ce qui est identique au signe près par rapport à la formule que j'ai déduis en haut)

Merci d'avance! :)

Édité par ZDS_M

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Alors en réalité, les transformations de Lorentz pour les quatre coordonnées sont les suivantes, pour une translation uniforme à la vitesse $v_R$ selon $(Ox)$ :

$$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = \gamma (x - {v_R}t)\\ {t_1} = \gamma (t - \frac{{{v_R}x}}{{{c^2}}})\\ {y_1} = y\\ {z_1} = z \end{array} \right.$$

Avec ça tu devrais trouver sans trop de peine :) Dans le livre que tu as trouvé, le déplacement de $R'$ se faisait probablement selon $(Oy)$ ! Il peut aussi y avoir des signes qui traînent selon que le mouvement qui t'intéresse est celui dans $R$ ou dans $R'$.

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Auteur du sujet

Merci beaucoup. Mais du coup, ici il me suffit de dire :

${v_y}^1 = \frac{{d{y^1}}}{{d{t^1}}} = \frac{{dy}}{{d(\gamma (t - \frac{{{v_R}x}}{{{c^2}}}))}} = \frac{{{v_y}}}{{1 - \frac{{{v_R}}}{{{c^2}}}\frac{{dx}}{{dt}}}} = \frac{{{v_y}}}{{1 - \frac{{{v_R}}}{{{c^2}}}{v_x}}}$

Et je trouve le même résultat que ci-dessus ? Donc c'était bon? :p

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Oui, c'est bien :

$$ dt'= \frac{\partial t'}{\partial t} dt + \frac{\partial t'}{\partial x} dx $$

soit $dt' = \gamma dt - \frac{\gamma v_R}{c^2} dx$, mais ici $v_x = \frac{dx}{dt} = 0$, puisque l'électron oscille selon $(Oy)$ ! (d'ailleurs tu as zappé le $\gamma$ dans ton dernier message)

Donc $dt' = \gamma dt$ et $v_y' = \frac{v_y}{\gamma}$.

PS. J'avoue que je n'ai pas fait les calculs avant maintenant, donc j'ai dit une bêtise dans mon message précédent, le déplacement de $R'$ se faisait bien selon $(Ox)$ dans ton livre. Au temps pour moi !

Édité par Itms

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