Un problème de ln peu récurrent

(Niveau Terminale S)

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Auteur du sujet

Bonjour,

Dans le cadre d'un exercice de mathématiques de Terminale S, j'ai la suite $U_n$ définie comme suit:

$$U_0=1, U_{(n+1)}=U_n-\ln{((U_n)^2+1)}, \forall n \in \mathbb N$$

Je dois montrer (par récurrence) que pour $\forall n > 0$, $U_n \in [0;1]$

J'ai donc commencé comme ceci:

Définition de la propriété $P$: $P_n: 0 \leq U_n \leq 1, \forall n > 0$

En $P_1$ on a donc : $U_1 = U_0 - \ln{((U_0)^2 + 1)} = 1 - \ln 2$ donc $0 \leq U_1 \leq 1$ est vraie et la propriété est vraie à l'origine. Je pars ensuite sur la récurrence:

On suppose $P_k: 0 \leq U_k \leq 1, \forall k > 0$ vraie. On cherche à prouver qu'en conséquence $P_{k+1}: 0 \leq U_{k+1} \leq 1, \forall k > 0$. C'est là que je bloque. En partant de $0 \leq U_k \leq 1$, je n'arrive pas à retomber sur $0 \leq U_{k+1} \leq 1$. J'ai pour le moment fait ceci:

$0 \leq U_k \leq 1$

$\Leftrightarrow 0 \leq (U_k)^2 \leq 1$

$\Leftrightarrow 1 \leq (U_k)^2 + 1 \leq 2$

$\Leftrightarrow \ln 1 \leq \ln{((U_k)^2 + 1)} \leq \ln 2$

$\Leftrightarrow -\ln 1 \geq -\ln{((U_k)^2 + 1)} \geq -\ln 2$

$\Leftrightarrow U_k -\ln 1 \geq U_k -\ln{((U_k)^2 + 1)} \geq U_k -\ln 2$

$\Leftrightarrow U_k \geq \underbrace{U_k -\ln{((U_k)^2 + 1)}}_{U_{k+1}} \geq U_k -\ln 2$

Et là je ne sais pas comment conclure sur la partie droite, puisqu'à mon sens je n'ai pas de moyen de prouver que $U_k -\ln 2$ est toujours supérieur ou égal à 0 et donc je peux pas prouver que $0 \leq U_{k+1} \leq 1$.

Auriez-vous une idée ?

PS:
J'ai aussi essayé avec l'exponentielle au départ mais je finis bloqué aussi.

Édité par Poliorcetics

Hey, moi c'est polio, et je te souhaite une bonne lecture :p !

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Staff

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Ton initialisation est fausse puisque $U_1 = 1-\ln(2)$.

Essaye de montrer que $\ln(1+x)\leq x$ pour tout $x$ positif. Ensuite, observe que

$$u_n - \ln(u_n^2 +1) \geq u_n - u_n^2.$$

Comme $u_n$ est supposé entre $0$ et $1$ tu dois pouvoir conclure.

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Tu pouvais aussi montrer que la fonction $x \mapsto x - ln(x^2 + 1)$ est croissante sur $[0;1]$ et l'utiliser pour ta récurrence.

polaron

Je ne comprends pas comment je peux l'utiliser ainsi. La solution de Holosmos me parait effectivement un "hack" à l'exercice, donc je préférerais la tienne mais je ne trouve pas en quoi ça m'aiderait.

Hey, moi c'est polio, et je te souhaite une bonne lecture :p !

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Staff

Elle est croissante, continue et vaut 0 en 0 et 1-ln(2) en 1. Ça permet effectivement de conclure.

Après, pour montrer la croissance faut travailler un petit peu.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

J'ai réussi à montrer la croissance sur $[0;1]$ (enfin si la dérivé est bien $\dfrac{(x - 1)^2}{x^2 + 1}$), mais je ne comprends toujours pas. Je loupe probablement quelque chose d'évident, mais je ne réussis vraiment pas à conclure.

J'ai toujours :

$U_k \geq \underbrace{U_k -\ln{((U_k)^2 + 1)}}_{U_{k+1}} \geq U_k -\ln 2$

Et maintenant:

$x \mapsto x - ln(x^2 + 1)$ croissante sur $[0;1]$

Mais je suis toujours incapable de voir le lien qui me permettrait de conclure sur le $U_k -\ln 2$.

Édité par Poliorcetics

Hey, moi c'est polio, et je te souhaite une bonne lecture :p !

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Hypothèse de récurrence : $0 \le U_{k} \le 1$

Par croissance de $x \mapsto x - ln(x^2 +1)$ sur $[0;1]$ : $0 - ln(1) = 0 \le U_k - ln(U_k^2 +1) \le 1 - ln(2) \le 1$

Édité par Nobody

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