Un problème de ln peu récurrent

Bonjour,

Dans le cadre d'un exercice de mathématiques de Terminale S, j'ai la suite $U_n$ définie comme suit:

Je dois montrer (par récurrence) que pour $\forall n > 0$, $U_n \in [0;1]$

J'ai donc commencé comme ceci:

Définition de la propriété $P$: $P_n: 0 \leq U_n \leq 1, \forall n > 0$

En $P_1$ on a donc : $U_1 = U_0 - \ln{((U_0)^2 + 1)} = 1 - \ln 2$ donc $0 \leq U_1 \leq 1$ est vraie et la propriété est vraie à l'origine. Je pars ensuite sur la récurrence:

On suppose $P_k: 0 \leq U_k \leq 1, \forall k > 0$ vraie. On cherche à prouver qu'en conséquence $P_{k+1}: 0 \leq U_{k+1} \leq 1, \forall k > 0$. C'est là que je bloque. En partant de $0 \leq U_k \leq 1$, je n'arrive pas à retomber sur $0 \leq U_{k+1} \leq 1$. J'ai pour le moment fait ceci:

$0 \leq U_k \leq 1$

$\Leftrightarrow 0 \leq (U_k)^2 \leq 1$

$\Leftrightarrow 1 \leq (U_k)^2 + 1 \leq 2$

$\Leftrightarrow \ln 1 \leq \ln{((U_k)^2 + 1)} \leq \ln 2$

$\Leftrightarrow -\ln 1 \geq -\ln{((U_k)^2 + 1)} \geq -\ln 2$

$\Leftrightarrow U_k -\ln 1 \geq U_k -\ln{((U_k)^2 + 1)} \geq U_k -\ln 2$

$\Leftrightarrow U_k \geq \underbrace{U_k -\ln{((U_k)^2 + 1)}}_{U_{k+1}} \geq U_k -\ln 2$

Et là je ne sais pas comment conclure sur la partie droite, puisqu'à mon sens je n'ai pas de moyen de prouver que $U_k -\ln 2$ est toujours supérieur ou égal à 0 et donc je peux pas prouver que $0 \leq U_{k+1} \leq 1$.

Auriez-vous une idée ?

PS:
J'ai aussi essayé avec l'exponentielle au départ mais je finis bloqué aussi.

Corrigé, merci, je n'ai pas fait attention.

Je ne comprends pas comment je peux l'utiliser ainsi. La solution de Holosmos me parait effectivement un "hack" à l'exercice, donc je préférerais la tienne mais je ne trouve pas en quoi ça m'aiderait.

Elle est croissante, continue et vaut 0 en 0 et 1-ln(2) en 1. Ça permet effectivement de conclure.

Après, pour montrer la croissance faut travailler un petit peu.

J'ai réussi à montrer la croissance sur $[0;1]$ (enfin si la dérivé est bien $\dfrac{(x - 1)^2}{x^2 + 1}$), mais je ne comprends toujours pas. Je loupe probablement quelque chose d'évident, mais je ne réussis vraiment pas à conclure.

J'ai toujours :

$U_k \geq \underbrace{U_k -\ln{((U_k)^2 + 1)}}_{U_{k+1}} \geq U_k -\ln 2$

Et maintenant:

$x \mapsto x - ln(x^2 + 1)$ croissante sur $[0;1]$

Mais je suis toujours incapable de voir le lien qui me permettrait de conclure sur le $U_k -\ln 2$.

Je viens enfin de comprendre ! Merci à vous deux !