Équation différentielle des Bernoulli

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Auteur du sujet

Bonjour,

J'essaye de résoudre l'équation différentielle suivante $({x^2} + 9)y' + xy - x{y^2} = 0$

Ca serait sympa de me dire où je me trompe car je l'ai faite 3 fois et je ne vois pas mon erreur (MatLab me donne une pas une fonction équivalente). Soit le changement de variable $z(x) = \frac{1}{{y(x)}}$ [n = 2 , 1-n = -1] Ainsi, $z' = \frac{x}{{{x^2} + 9}}z - \frac{x}{{{x^2} + 9}}$ Eq. homogène associée: $z' = \frac{x}{{{x^2} + 9}}z$ ${z_{\hom }}(x) = \lambda \exp (\int {\frac{x}{{{x^2} + 9}}dx) = } \lambda \sqrt {{x^2} + 9} ,\lambda \in R$ Méthode de la variation de la constante:

$\gamma (x) = \int { - \frac{x}{{{x^2} + 9}}\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}dx} = - \frac{1}{{2\sqrt {{x^2} + 9} }}$

=> $z(x) = \lambda \sqrt {{x^2} + 9} - \frac{1}{2},\lambda \in R$

=> $y(x) = \frac{1}{{\lambda \sqrt {{x^2} + 9} - \frac{1}{2}}},\lambda \in R$

Ce qui est faux d'après MatLab (bon d'ailleurs c'est sûr car ma réponse ne figure pas parmi celles proposées) !

Merci d'avance :-)

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Une equation de Bernouilli est telle que: $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^s$ avec $s\not \in \{0,1\}$.

Dans ton cas $P(x) = \frac{x}{x^2 + 9}$, $Q(x) = \frac{x}{x^2 + 9}$ et $s = 2$.

Le changement de variable pour une telle equation est toujours $z(x) = (y(x))^{1-s}$. Ainsi le changement de variable permet de reecrire en $z$ de la maniere suivante:

$$\frac{dz}{dx} + (1-s)P(x)z(x) = (1 -s)Q(x)$$

Autrement dit dans ton cas:

$$\frac{dz}{dx} + -\frac{x}{x^2 + 9}z(x) = \frac{x}{x^2 + 9}$$

Tu as donc deja une erreur de calcul ici il semblerait. Ton changement de variable est correct.

Édité par KFC

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Auteur du sujet

Tu as tenté une vérification manuelle de ta solution ?

Holosmos

Bien sûr.

Une equation de Bernouilli est telle que: $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^s$ avec $s\not \in \{0,1\}$.

Dans ton cas $P(x) = \frac{x}{x^2 + 9}$, $Q(x) = x$ et $s = 2$.

Le changement de variable pour une telle equation est toujours $z(x) = (y(x))^{1-s}$. Ainsi le changement de variable permet de reecrire en $z$ de la maniere suivante:

$$\frac{dz}{dx} + (1-s)P(x)z(x) = (1 -s)Q(x)$$

Autrement dit dans ton cas:

$$\frac{dz}{dx} + -\frac{x}{x^2 + 9}z(x) = -x$$

Tu as donc deja une erreur de calcul ici il semblerait.

KFC

D'abord, merci.

Si je l'écris comme toi j'ai :

$({x^2} + 9)\frac{{dy}}{{dx}} + xy = x{y^2}$

$ \Leftrightarrow \frac{{dy}}{{dx}} + \frac{x}{{{x^2} + 9}}y = \frac{x}{{{x^2} + 9}}{y^2}$

Puis je fais ce changement de variable comme tu le dis et je peux écrire

$z' = (1 - s)zg(x) + (1 - s)f(x)$ où s représente le même paramètre que toi

où g(x) est la fonction devant y(x) et f(x) celle qui multiplie [y(x)]^2. Or, ici f(x) = g(x) ? Puis je résous cela comme une simplement équation d'ordre 1 inhomogène avec la méthode dans mon premier message.

Je vois même pas mon erreur, c'est grave.. Ca doit être une faute d'algèbre :p

Édité par ZDS_M

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Staff

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

KFC:

C'est pas plutôt $Q(x)=\frac{x}{x^2+9}$ ?

EDIT1: J'obtiens la même équa diff que celle de ZDS_M au début.

EDIT2: http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%28x2%2B9%29y%27%2Bxy-xy2%3D0

Ta solution a bien la forme correcte, à l'exception du $\frac{1}{2}$ qui est remplacé par $1$ dans Wolframalpha.

EDIT3: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+-x%2F%28%28x2%2B9%29*sqrt%28x2%2B9%29%29

En effet tu as foiré ton intégration à la dernière étape. Le facteur $\frac{1}{2}$ n'avait pas besoin d'être rajouté, tu l'as surement sorti parce que la dérivée de $x^2$ c'est $2x$ et que tu voulais te débarrasser du $2$, mais c'était oublier que la dérivée de $\sqrt{x^2+9}$ c'est déjà $\frac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$

Édité par Algue-Rythme

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Auteur du sujet

KFC:

C'est pas plutôt $Q(x)=\frac{x}{x^2+9}$ ?
J'obtiens la même équa diff que celle de ZDS_M au début.

EDIT: pour la troisième fois : http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%28x2%2B9%29y%27%2Bxy-xy2%3D0

Ta solution a bien la forme correcte, à l'exception du $\frac{1}{2}$ qui est remplacé par $1$ dans Wolframalpha.

Algue-Rythme

Effectivement, sais-tu d'où vient mon erreur avec le 1 ? MatLab me donne la même forme.

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