voici ma solution algébrique bourrine, peaufinée avec Mouton sur IRC, qui consiste à interpoler « bêtement » (mais pas tant que ça !) l’expression polynômiale des sommes de ce type, à partir desquelles on peut retrouver la formule cherchée. l’avantage, évidemment, est que ça se généralise directement. l’inconvénient, c’est que ça n’« explique » pas cette relation particulière… j’ai cherché une solution combinatoire / géométrique plus satisfaisante, mais ρττ a fait ça mieux que moi. 
prérequis :
- algèbre linéaire de base
- $\mathbf{R}[X]$
on pose $s^p_n = 1^p + 2^p + … + n^p$. pour $p$ fixé, on cherche une expression simple de $s^p_n$. on remarque que cette suite est également définie de façon unique par les relations (linéaires) :
on définit sur $\mathbf{R}[X]$ l’opérateur linéaire $\Delta$ par $\Delta P = P[X] − P[X − 1]$. on voit rapidement que cette application fait chuter le degré d’exactement 1, donc que c’est une surjection $\mathbf{R}_{p+1}[X] \twoheadrightarrow \mathbf{R}_{p}[X]$, de noyau les polynômes constants.
on en déduit que le polynôme $X^p$ admet un antécédent $P$ de degré $p+1$, défini modulo le noyau de $\Delta$, donc modulo une constante. on peut donc prendre $P[0] = 0$. de sorte que :
donc par unicité, $P[n] = s^p_n$.
on sait donc que $s^p$ est une fonction polynômiale de degré $p$, il nous suffit alors de calculer les $p+1$ premières valeurs et d’interpoler.
…
en fait, on peut même interpoler intelligemment ! en effet, plutôt que la base de polynômes canonique, on peut considérer la base1 suivante :
il se trouve qu’on retrouve les propriétés de la dérivation usuelle !
et donc si on écrit un polynôme dans cette base :
alors les coefficients sont donnés par la formule de Taylor :
moi je trouve ça beau 
-
de Newton ? ↩
