Cours de S.poirier : deux questions

Ah mais c'était un « ou » qui portait sur la carte $y= 1$ ou alors l'espace $y=0$.

Ok, bon, j'ai pas tout compris mais c'est pas grave.

Je vous avoue que cette histoire de carte affine reste encore à préciser, pour ma part.

Si vous n'avez pas le vocabulaire classique de topologie ça va être compliqué. Mais voilà en quelque mots ce qu'on pourrait dire.

Étant donné un espace topologique $E$, pour lui munir une structure de variété on se donne un atlas, c'est-à-dire un ensemble de cartes compatibles (j'y reviens sur la compatibilité). Une carte c'est un homéomorphisme sur son image d'un ouvert de $E$ dans un ouvert de $\mathbf{R}^n$ où $n$ est constant et est appelé dimension de $E$ en tant que variété. Il faut également que l'ensemble des domaines des cartes recouvre $E$.

On dit que deux cartes $f,g$ sont compatibles lorsque l'application de changement de carte $f\circ g^{-1}$ a la même régularité que le type de variété considéré : homéomorphisme pour les variétés topologiques, difféomorphisme pour les variétés différentielles, biholomorphismes pour les variétés complexes, etc.

Dans le cas de l'espace $\mathbf{RP}^n$, on a $n+1$ cartes canoniques données par $x_i=1$. L'application de changement de carte correspond à l'application $x_i/x_j$, qui est bien régulière. Toutes ces cartes recouvrent bien notre espace. Donc c'est une variété topologique (et même différentielle) pour cet atlas.

Ça à l'air passionnant mais mon niveau en algèbre linéaire n'est pour l'instant pas assez évolué.