Cours de S.poirier : deux questions

Bonjour,

Je lis en ce moment un petit cours de Sylvain Poirier : Un autre regard sur les mathématiques.

C'est introduit comme ça dans son cours, à la partie 7 Redéfinition d'un espace affine de dimension n : pourquoi si la "masse" d'un élément d'un espace vectoriel $E$ est égale à 1, alors cet élément est un point? Même question, pour m(élément de $E$) = 0

Si on parle d'espace vectoriel de dimension n+1, c'est parce que l'on prend en compte la masse? Sinon, pourquoi?

Merci pour les éclaircissements.

Donc c'est une sorte de transition espace affine-vectoriel? Le membre ρττ, avec qui j'ai eu une longue discussion mais qui attends toujours du travail de ma part, parlait "d'espace vectoriel libre sur espace affine". Sinon, l'image est très instructive, merci de ta réponse.

Je comprend beaucoup mieux maintenant, merci à toi.

Je découvre en effet à petits pas le monde de la géométrie. Je ne comprends pas tout les concepts, c'est donc pour cela que je lis ce genre de cours.

Si on considère cette "vision projective" alors on a un espace vectoriel $E$ de dimension n+1 avec un hyperplan V (sous-espace vectoriel de $E$) d'équation affine m(v) = 1. Donc m est une application linéaire de $E$ dans l'hyperplan associé?

Bah en fait tu as répondu à ta question, c'est exactement la notion de carte affine. Ici, on parle même de la carte affine $m=1$.

Juste pour info, parce que je ne veux pas utiliser ce terme à tort : qu'est-ce que tu appelle hyperplan? Pourquoi pas simplement partie ou sous-ensemble de $E$?

Un hyperplan est un sous-espace de codimension $1$, c'est-à-dire un sous-espace de dimension $n-1$ si ton espace vectoriel est de dimension finie $n$.

Pour résumer, l'idée est de prendre un espace vectoriel $E$ de dimension n+1 et de considérer la masse de ses points pondérés comme une application linéaire de $E$ vers un hyperplan de cet espace vectoriel et de dimension n?

Je crois qu'on ne fait que t'embrouiller… On ne peut pas avoir une application linéaire vers un hyperplan : un hyperplan n'est pas un espace vectoriel (on ne peut pas sommer deux de ses points), mais par contre c'est un espace affine (on peut prendre des barycentres). Tu écris toi-même « m(v) = 1 ». Mais 1 n'est pas un élément d'un hyperplan.

On considère une application linéaire m de E vers ℝ qui à un « point généralisé » (un élément de E) associe sa masse (les points normaux étant ceux dont la masse est 1). Le fait que m soit une application linéaire veut dire que quand on somme deux points généralisés, leurs masses sont additionnées, et quand on multiplie un point généralisé par un scalaire (un nombre réel), sa masse l'est aussi. Ça a pour conséquence que si A et B sont deux points normaux (c'est-à-dire que m(A) = 1 et m(B) = 1), alors $\frac{A+B}{2}$ est aussi un point normal : le milieu de [AB]. Vois-tu comment le justifier en utilisant la linéarité de m ?

Il faudrait déjà que tu comprennes les notions de noyau et de quotient en algèbre linéaire. Je t'avais donné un lien vers ces notes, mais c'était surtout parce que tu demandais une source de l'idée d'espace vectoriel libre sur un espace affine. Peut-être qu'un cours plus standard serait plus adapté (par exemple je trouve la construction du quotient pas très directe, et telle qu'énoncée ne fonctionne qu'en dimension finie (l'auteur s'y restreint je crois)¹). Ça posera les bases clairement et tu sauras plus de quoi tu parles. Mais comme je t'avais dit, aucun de ceux que j'ai vu ne m'a convaincu au point de le conseiller plutôt qu'un autre (on en trouve plein sur internet).

@Holosmos : Je viens de relire la partie 7 et j'avais oublié que ça parlait aussi de géométrie projective, donc je comprends mieux.

Par contre, je ne suis pas convaincu. Le seul lien que je vois, c'est qu'on a un hyperplan qui ne passe pas par l'origine, mais je crois que ça s'arrête là.

edit

Bah en fait tu as répondu à ta question, c'est exactement la notion de carte affine. Ici, on parle même de la carte affine $m=1$.

Ah, pour moi une carte affine c'est l'espace projectif privé d'un hyperplan à l'infini, et sur lequel on a une structure d'espace affine. Il n'y a pas de différence entre les « cartes affines » m=1 et m=2, c'est juste des représentations de la carte affine associée à l'hyperplan m=0. Enfin, ça doit dépendre des conventions.

Nope.

Ce qu'on appelle ici la masse, c'est une application linéaire $m : E\to \mathbf{R}$, on parle aussi de forme linéaire.

Un hyperplan, c'est un sous-espace vectoriel décrit par l'équation $m(v)=0$ (on peut montrer qu'il s'agit d'un espace de dimension $n-1$ pour peu que $m$ soit pas toujours nulle).

Quand on regarde l'équation $m(v) =1$, on a un hyperplan affine.

Formellement, un carte affine est un homéomorphisme sur son image $\varphi : U\to \mathbf{R}^n$ où $U$ est un ouvert de $\mathbf{RP}^n$.

Il faut bien voir qu'ici, on prend pour ouvert l'ensemble $m=1$ et avec pour application l'injection canonique. C'est pour ça qu'on parle plus rapidement de carte $m=1$, en laissant de côté la formulation formelle qui découle de celle ci si on prend les bonnes applications.

Il n'y a pas de différence entre $m=1$ et $m=2$ mais par contre, il y a une énorme différence avec $m=0$ !!!

Si tu prends l'espace projectif $\mathbf{RP}^2$, que tu prennes la carte $y=1$ pour les coordonnées $(x:y)$ ou $y=0$, tu as deux espaces totalement différents. Dans le premier cas, ton application sera $(x:y)\mapsto x/y$ et dans le second $(x:y)\mapsto \infty$.

De manière générale, la carte $m=0$ est un hyperplan à l'infini.

Oui, car on considère $m(A)$ et $m(B) = 1$ (autrement dit, ils appartiennent à l'hyperplan affine d'équation m = 1).

On cherche la masse $m(\dfrac{A+B}{2}) = m((A+B)\dfrac{1}{2})$.

D'après les propriétés additives et homogènes d'une application linéaire, cette masse équivaut à : $\dfrac{1}{2} m(A+B) = \dfrac{1}{2}[m(A) + m(B)] = 2(\dfrac{1}{2}) = 1$

Donc $\dfrac{A+B}{2}$ appartient bien à l'hyperplan affine de dimension m = 1.

Oui, car on considère $m(A)$ et $m(B) = 1$ (autrement dit, ils appartiennent à un hyperplan affine d'équation m = 1). Source :Ozmox

Une remarque de français (mais qui pourrait révéler une incompréhension, il s'agit de l'hyperplan affine d'équation $m=1$ (y en a pas d'autre).

@Holosmos : Je ne vois pas ce que tu veux dire par la carte affine m=0.¹ Tu parles de (x:y) ↦ ∞, mais ça n'est pas une fonction de P(ℝ²) dans ℝ… ?

Sinon, j'avais parlé d'hyperplan pour dire hyperplan affine. J'ai l'impression que c'est plus conventionnel en français de dire hyperplan pour hyperplan vectoriel (enfin, en théorie on a soit un espace affine soit un espace vectoriel, mais en pratique, de manière similaire, on fait pas la différence entre le 0 de ℝ et le 0 de ℕ).

Justement c'est pas une carte affine.

Après lecture de ta note je me rends compte que tu parles d'une carte et de son complémentaire de la même manière, ce qui est pas super clair.

Justement c'est pas une carte affine.

Ah ok, j'avais mal compris.

Après lecture de ta note je me rends compte que tu parles d'une carte et de son complémentaire de la même manière, ce qui est pas super clair.

Oui, je suis d'accord que c'est pas clair, mais je ne note pas de la même manière. Je parle juste de la carte affine associée à m=0. Je disais « carte affine m=0 » parce que j'avais cru que tu parlais de ça, mais tu disais juste « carte ». C'est quoi ce que tu entends par la carte m=0 ?

edit : enfin, je veux dire, c'est quoi une carte tout court ?

Au passage, rototo, je t'ai envoyé quelques mp. Quand je parle de famille, je parle de famille de n éléments dans $E$ et dans $K$ mais ça serait plutôt dans $E^n$ et $K^n$.

enfin, je veux dire, c'est quoi une carte tout court ?

Déjà dit :

Peut-être que ce qui te gêne c'est qu'on ne peux pas décomposer $\mathbf{RP}^n$ comme l'union d'une carte affine et de son complémentaire. En fait, on a $\mathbf{RP}^n \simeq \mathbf{R}^n\cup \mathbf{RP}^{n-1}$. C'est pour ça qu'on peut pas parler de l'hyperplan $m=0$ comme d'une carte, car $\mathbf{RP}^{n-1}$ n'est pas homéomorphe à $\mathbf{R}^n$.

Tu dis « la carte m=0 est un hyperplan à l'infini ». Tu parles aussi de (x:y) ↦ ∞. Ça voulait dire quoi ? C'était juste ça ma question. Comme tu n'avais pas mis « affine » après « carte », je pensais que tu parlais de quelque chose d'autre.

Peut-être que tu voulais simplement dire « l'hyperplan m=0 » au lieu de « la carte m=0 », mais je vois toujours pas ce qu'est ce (x:y) ↦ ∞ (tu dis que c'est « la carte y=0 » d'après ce que je lis, et je comprends rien parce que c'est pas une carte affine, donc je demande ce qu'est une carte tout court).