Demonstration : famille liée

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Auteur du sujet

Bonsoir,

se qui est demandé : Montrer qu'un vecteur colonne de la matrice A notée Aj forment avec la base de R^m une famille liée .

vous proposer quoi comme indication pour que je puisse accomplir cette question ?

Merci

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Salut,

C’est compliqué de te donner une indication sans vraiment donner la réponse. Donc, je vais te demander qu’est-ce qu’une famille liée ? En répondant à cette question, tu pourras arriver à la réponse à ta question. Sinon, interroges-toi sur le nombre de vecteurs de ta famille.

Édité par Karnaj

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Auteur du sujet

Salut,

je sais que pour 2 vecteur ,V1,V2 : si il sont liée alors il existe b1,b2 ; tel que b1V1+b2V2=0 et en continue ,,, réciproquement , mais le cas d'un vecteur forment avec la base de R^m j'ai pas compris qu'est ce que sa veut dire

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Grâce à cette définition, tu trouves cette propriété : une famille de vecteurs $(u_1, \cdots, u_n)$ est liée s’il existe $k$ un entier entre $1$ et $n$ et une famille de scalaires $(\lambda_i)$ tels que

$$ u_k = \sum_{i = 0, i \neq k}^n \lambda_i u_i $$

car on a alors $u_k - \sum_{i = 0, i \neq k}^n \lambda_i u_i = 0$.

En gros, si tu arrives à écrire un vecteur de ta famille en utilisant les autres vecteurs, alors elle est liée. Donc maintenant, voici la question à se poser : peut-on écrire le vecteur colonne de la matrice en utilisant les autres vecteurs de la famille considérée (c’est-à-dire les vecteurs de la base de $\mathbb{R}^m$) ?

PS : Et réfléchis toujours au nombre de vecteurs de ta famille. Si tu suis un cours, tu as sûrement déjà vu un théorème qui te permet de conclure (dans certains cas) en fonction du nombre de vecteurs d’une famille dans un espace de dimension $m$.

Édité par Karnaj

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