Exercices pré-prépa

Pour ceux qui aiment les maths et qui veulent s'entraîner

a marqué ce sujet comme résolu.

Salut,

Je vais bientôt rentré en classe préparatoire scientifique et j'aimerai bien faire des exercices de maths, pour le plaisir, mais aussi dans l'espoir de trouver d'autres personnes qui, comme moi, aiment bien les challenges.

Le but serait que chacun puisse proposer un exercice dès qu'il a un énoncé intéressant, même si le précédent n'est pas encore résolu. Tout le monde peut répondre, mais le public visé est bien les élèves de fin de cycle de lycée. N'oubliez pas de mettre votre réponse dans une balise secret !

Et si il y a des erreurs n'hésitez pas à corriger :)

Je commence ?

On définit un réel $a \neq 1, \in \mathbb R^+$, et une suite $(U)$ telle que $\forall n \in \mathbb N, U_{n} = a^{n}$

Démontrer que:

$$\sum_{i=0}^{n} U_{i} = \dfrac{1 - a^{n+1}}{1 - a}$$

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Ta suite est une suite géométrique de premier terme 1, c'est la démonstration des $n$ premiers termes d'une suite géométrique qu'on fait en 1èreS mais simplifiée (à cause du premier terme égal à 1) :

$$\sum_{i=0}^{n} U_i = 1 + a + a^2 + ... + a^{n-1} + a^n$$
$$a \times \sum_{i=0}^{n} U_i = a + a^2 + ... + a^n + a^{n+1}$$

$$\begin{aligned}\mbox{Donc }&\sum_{i=0}^{n} U_i - a \times \sum_{i=0}^{n} U_i = 1 - a^{n+1} \\ &\Leftrightarrow{}(1 - a)\sum_{i=0}^{n} U_i = 1 - a^{n+1} \\ &\Leftrightarrow{}\sum_{i=0}^{n} U_i = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a}\end{aligned}$$

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Ah oui après vérification, c'est vrai qu'elle est déjà vu en 1ere S. J'avais pas dans l'idée une démonstration comme ça, mais plutôt une en utilisant deux choses:

On remarque que $\dfrac{U_{1}-U_{0}}{U_{0}} = \dfrac{U_{2}-U_{1}}{U_{1}} = \dfrac{U_{3}-U_{2}}{U_{2}}.... = q, q \in \mathbb R$ (une constante)

et si $a,b \in \mathbb R$ et $c,d \in \mathbb R^*, $ telle que $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, alors $\dfrac{a+c}{b+d} = \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$

Si vous avez une idée (en utilisant ceci), postez!

Sinon un autre un peu plus dur trouvé sur le polycopié de LLG (mais qui reste facile à mon avis)

Soient $α$ et $β$ deux réels, $Z = e^{iα} + e^{iβ}$.

En factorisant $e^{iα}$ dans Z, trouver le module de Z et, si Z est non nul, un argument de Z.

Je suis entrain de le faire, j'édit avec ma solution.

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Petit chipotage : on n'écrit pas $U_n = a^n, a \in \mathbb{R}$ n'est pas strictement correct. Il faudrait plutôt écrire :

Soit $a \in R$, on défini une suite $(U)$ telle que $U_n = a^n$. Et si on veux faire encore mieux, on se débrouille pour montrer que $(U)$ dépend de $a$.

De manière plus général, on ne peut utiliser un symbole qu'après l'avoir défini (comme en programmation).

Il y a aussi une petite erreur dans ta formule : dans la somme, c'est $U_i$ et pas $U_n$.

Même si ça fait quelques années que je suis sorti de prépa, ça m'intéresse de faire ce genre d'exo. Au moins pour éviter de tout oublier.

Premièrement, on se rends compte que la formule n'est pas vrai pour $a = 1$ puisque cela nous amène à une division par 0. De même, le cas $a < 0$ risque d'être plus complexe que celui $a > 0$ puisque le signe de $U_n$ va alterner.

On commence par une démonstration par récurrence pour $a > 1$ et on verra ensuite si on peut l'étendre pour $a < 1$ :

$$U_0 = 1\mbox{ et }\frac{1-a^1}{1-a} = 1$$

On suppose que la formule est vrai pour un $n > 0$ fixé :

$$\begin{aligned}\sum_{i=0}^{n+1} U_i &= \left(\sum_{i=0}^n U_i\right) + U_{n+1}\\ &= \frac{1-a^{n+1}}{1-a} + a^{n+1}\\ &= \frac{1-a^{n+1}+a^{n+1}(1-a)}{1-a}\\ &= \frac{1-a^{n+1}+a^{n+1}-a^{n+2}}{1-a}\\ &= \frac{1-a^{n+2}}{1-a}\\ \end{aligned}$$

Par récurrence, on a montré que pour $a > 1$, $\sum_{i=0}^n U_i = \frac{1-a^{n+1}}{1-a}$.

On se rend maintenant compte que la seul assomption sur $a$ que l'on a utilisé est le fait que $a \neq 1$, donc la démonstration fonction aussi pour $a < 1$.

Finalement, pour $a = 1$, on obtient trivialement que

$$\sum_{i=0}^n U_i = n+1$$

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Hmmm, tu pourrais m'éclaircir sur cette phrase:

On se rend maintenant compte que la seul assomption sur $a$ que l'on a utilisé est le fait que $a \neq 1$, donc la démonstration fonction aussi pour $a<1$.

Ok je viens de bucher un peu, j'espère qu'en pratiquant ça va venir :)

$$ e^{ia} + e^{ib} = e^{ia}(1+\frac{e^{ib}}{e^{ia}})= e^{ia}(1+e^{i(b-a)}) $$

donc

$$ |z| = |e^{ia}(1+e^{i(b-a)})| = |e^{ia}|\times|1+e^{i(b-a)}|$$
Or,
$$\begin{aligned}1+e^{i(b-a)} &= e^{i(b-a)} (1 + e^{-i(b-a)}) \\ &= e^{i\frac{(b-a)}{2}} (e^{-i\frac{(b-a)}{2}} + e^{-i \frac{(b-a)}{2} }) \\ &= e^{i\frac{(b-a)}{2}} (\cos(\frac{b-a}{2}) + i\sin(\frac{b-a}{2}) + \frac{1}{\cos(\frac{b-a}{2}) + i\sin(\frac{b-a}{2})} )\\ &= e^{i\frac{(b-a)}{2}} (\cos(\frac{b-a}{2}) + i\sin(\frac{b-a}{2}) + \cos(\frac{b-a}{2}) - \sin(\frac{b-a}{2}) ) \\ &= e^{i\frac{(b-a)}{2}}2\cos(\frac{b-a}{2}) \\ \end{aligned}$$

donc

$$|1+e^{i(b-a)}| = |2\cos(\frac{b-a}{2})|$$

donc

$$|z| = |2\cos(\frac{b-a}{2})| $$

arg(z) = incoming :D

J'ai un problème avec la taille des exposants, on peut m'aider ? svp :p J'aimerai aussi réduire la taille de toute ce qui se trouve dans les cos et sin. (et aussi aligner les =)

Poste quand même, ça fait vivre le sujet :)

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Tu peux aligner tes équations avec un environnement align et peut-être qu'en utilisant \frac au lieu de \dfrac ça corrigera ton problème d'exposant.

Ça doit donner ça je pense :

1
$$\begin{aligned}1+e^{i(b-a} &= e^{i(b-a)} (1 + e^{-i(b-a)}) \\ &= e^{i\frac{(b-a)}{2}} (e^{-i\frac{(b-a)}{2}} + e^{-i \frac{(b-a)}{2} }) \\ &= e^{i\frac{(b-a)}{2}} (\cos(dfrac{b-a}{2}) + i\sin(\frac{b-a}{2}) + \frac{1}{\cos(\frac{b-a}{2}) + i\sin(\frac{b-a}{2}}) \\ &= e^{i\frac{(b-a)}{2}} (\cos(dfrac{b-a}{2}) + i\sin(\frac{b-a}{2}) + \cos(\frac{b-a}{2}) - \sin(\frac{b-a}{2}) ) \\ &= e^{i\frac{(b-a)}{2}}2\cos(dfrac{b-a}{2}) \\ \end{aligned}$$

Edit : Pour mettre les parenthèses à la taille des fractions il faut mettre \left( et \right) à la place de ( et ).

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Quelques trucs pour vous amuser, pas faciles mais j'avais bien aimé les faire en terminale:

Equation differentielle du premier ordre:

  • On pose $f(t)=e^{h(t)}$, avec $h$ derivable sur $\mathbb{R}$. Dériver $f$ et donner la dérivée en fonction de $h'$ et $f$. Écrire ça sous forme d'une équation entre $f, f', h$.
  • Maintenant on imagine un point matériel soumis uniquement à une force de norme $F=\alpha \times v$ où $v$ est la vitesse courante. La force est orientée selon un axe des $x$, dans le sens qui s'oppose au mouvement. Écrire une équation différentielle comme plus haut sur la vitesse. En supposant que $v = A\times e^{h(t)}$ comme plus haut, trouvez une condition sur $h$ pour que $v$ soit solution de l'équation trouvée. Déjà si vous y arrivez, c'est très bien. Vous pouvez même montrer en bonus que le point va finir par s'arrêter. Pour ça il faut trouver $h$. La vitesse initiale est $v_0$ quand $t=0$.

Racines complexes de l'unité:

  • Soit $z$ tel que $z^n = 1$, avec $n$ un entier naturel supérieur à 2. Est-ce qu'il existe un tel $z$ réel ? Et complexe ? Donner un exemple de complexe qui marche. Indices en spoiler.

Pensez à utiliser la notation exponentielle des complexes, c'est un réflexe à avoir quand on fait des puissances. Posez donc $z=Ae^{i\theta}$ Remarquez que $-1$ c'est aussi l'exponentielle de $\pi i$. Procédez par identification pour trouver la forme de $z$. Au total vous devez trouver $n$ solutions$.

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Un autre exo facile qui fait réviser de l'arithmétique élémentaire :

Pourquoi $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ est-il un corps si, et seulement si, $p$ est premier ?

En plus ça fait travailler la notion de groupe et de corps, c'est pas plus mal.

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$$\begin{aligned}f'(t) = (e^{h(t)})' &= h'(t) \times e^{h(t)} \mbox{ d'après la dérivée des fonctions composées} \\ \Leftrightarrow{}f'(t) &= h'(t) \times f(t) \end{aligned}$$

Comment on peut exprimer ça en fonction de $h$ et pas en fonction de $h'$ ?

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Mettons que tu aies $f'(t) + 2f(t) = 0$. Si tu poses $h'(t) =-2$ tu tombes bien sur l'expression que j'ai mise dans le message précédent. C'est ça ce que j'appelais "lire" $h'$.

Du coup pour toi, c'est quoi l'expression de $h$ à une constante près qui correspond ?

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Oui, c'est ça sauf que c'est $-2$. Tu peux essayer de faire la suite de l'exo du coup, tu devrais retomber sur quelque chose de similaire.

(Au passage, les gens qui prennent l'habitude de mettre des constantes d'intégration évitent de perdre des points pour rien, bon réflexe)

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J'essaye de m'attaquer au problème de Holosmos. (je n'y connais rien en groupe mais je vais tenter de répondre avec ce que je viens de lire rapidement sur internet)

Est-ce que ça à a voir avec la notion d'élement neutre?

Car si p n'est pas premier, alors il existerait plusieurs x tels que xe = ex = x?

Je ne sais même pas si je comprends vraiment ce que je dis ^^

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J'essaye de m'attaquer au problème de Holosmos. (je n'y connais rien en groupe mais je vais tenter de répondre avec ce que je viens de lire rapidement sur internet)

Essaye d'abord de bien cerner la notion de groupe, sinon tu risques de faire des demi-démonstrations.

Est-ce que ça à a voir avec la notion d'élément neutre?

Oui car un groupe est défini par une opération (associative, qui admet un neutre, et qui donne un symétrique (ou inverse) à tout élément du groupe). Donc ici, tu dois prouver que tu as ces trois éléments si et seulement si $p$ est premier. Tu dois donc globalement les montrer l'un après l'autre.

Je ne sais même pas si je comprends vraiment ce que je dis ^^

Commence justement par bien te renseigner sur les groupes et cherche des exemples. ;)

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Holosmos : plutôt violent pour des terminales, ton exo. :/

Prouver que toute fonction définie sur R peut s'écrire comme étant la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
Rappel : une fonction f définie sur R est paire ssi $\forall x \in \mathbb{R}, f(-x) = f(x)$ et est impaire ssi $\forall x \in \mathbb{R}, f(-x) = -f(x)$.

Edit : quelques pistes.

L'idée est de supposer qu'on puisse écrire f sous forme d'une fonction paire, p, et d'une fonction impaire, i. Il faut ensuite regarder ce que ça entraîne comme contrainte sur p et i, en regardant des valeurs kivonbien.

Les fonctions i et p sont définies par des relations entre $x$ et $-x$, peut-être faut-il regarder par là ?

Ce genre de raisonnement, c'est de l'analyse-synthèse. Perso je surkiffe (<3), c'est pas bien compliqué et ça entraîne le raisonnement, je trouve.

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Ben justement, j'ai jamais vu les corps ni même les groupes en terminale, et à mon époque (2010), le peu d'arithmétique qu'on faisait en TS, c'était en spé maths et on ne voyait même pas la notation Z/nZ. Alors de là à dire que c'est un corps quand n est premier. :D

(De mémoire j'avais vu ça en 2e année de prépa, pour tout dire)

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