Exercices pré-prépa

Je peux conseiller à l'auteur de regarder quelques cours de logique s'essayer à quelques exercices. Comme cela, il pourra s'entraîner aux symboles $\forall$, $\exists$, $\leftrightarrow$…

Pourquoi pas, mais ce conseil est à nuancer : inciter à faire des exercices de logique en grand nombre, c'est un très bon conseil. Mais pousser à l'usage de symboles formels et de phrases quantifiées en symboles n'est, à mon avis, pas souhaitable pour commencer. On prend très vite de mauvaises habitudes si l'on n'a pas les bonnes pratiques avec les phrases formelles : assez rapidement, on utilise des variables alors qu'elles n'ont d'existence que dans la phrase quantifiée, ou alors on écrit « A implique B donc B est vrai », ou autres abus dans ce goût-là.

Donc les quantificateurs, d'accord, mais uniquement après avoir bien assimilé les bases de la logique (formelle et informelle).

Bof, c'est soft ça pour des terminales, quasiment trivial. Pour un exo un peu plus corsé mais accessible à de bons élèves de terminale, montrez que les zéros non triviaux de la fonction zeta de Riemann ont pour partie réelle $1/2$. C'est pas complètement évident mais ça se fait.

Euh, ce n’est pas du tout au programme de spé. Certes, on y voit les congruences mais pas ces corps. Limite, j’ai vu que ce n’était même pas au programme de MPSI.

Tiens, autre exo d'équation fonctionnelle, mais qui est bien plus dur que le précédent que j'ai donné (je viens de rajouter des indices) : trouver toutes les fonctions $f$ définies et continues sur $\mathbb{R}$ telles que : $\forall (x,y) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}, f(x + y) = f(x) + f(y)$.

Indices :

Cet exercice est difficile, mais vous avez normalement tout le bagage mathématique pour le résoudre (à part peut-être à la toute fin, cf. les indices).

Non mais les corps et groupes c'est du vocabulaire à ce niveau. C'est juste une liste d'axiomes à vérifier. Le seul argument de la question c'est un truc de TS.

Ok, je vois ce que tu veux dire, et de quel argument tu parles (j'avoue que je n'y avais pas pensé avant), mais… Desolé, quand la question demande bac+1 pour être compréhensible, même si la technique est niveau TS ce n'est pas juste une question de vocabulaire.

Corrige-moi si tu ne pensais pas a ça, mais on pourrait reformuler par : soit n un entier positif. Montrer que, si $\forall 0 < x < n, x\in N, \exists 0 < y < n, y\in N, xy = 1 \mod n $, alors n est premier. Et là, ça devient accessible niveau terminale (mais pas vraiment facile).

Oui ça pourrait marcher comme ça aussi. Mais sans contexte on dirait que c'est inutile.

si $p$ est premier ou $p$ est une puissance entière d'un nombre premier non ?

Non, $\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$ n'est pas un corps car $2$ n'est pas inversible : $2\times 2 = 0, 2\times 3 = 2$.

Tu dois être en train de penser aux corps finis $\mathbf{F}_q$ avec $q=p^n$ mais ce ne sont pas les $\mathbf{Z}/q\mathbf{Z}$ pour $n\neq 1$.

Cool pleins de problèmes à résoudre

Melepe:

On pose $\forall X \in \mathbb R, f(x)= u(x) + v(x)$, avec $u$ la fonction paire et $v$ la fonction impaire.

Alors:

$f(-x) = u(-x) + v(-x) = u(x) - v(x)$

Récriproquement,

Comme l'expression de $u$ et $v$ ne dépendent que de $f$, alors toute fonction $f$ peut s'écrire sous la forme de deux fonctions impaires.

À vrai dire tu n'as pas tout à fait résolu le problème. Tu as montré que si c'était possible alors c'était possible. Il faut que tu ajoutes le fait que les expressions que tu obtiens à la fin te donne bien toujours la décomposition recherchée.

La c'est mieux ?

Comme ça, il n'y aurait pas $z = 1$ dans les réels, et $z = e^{i2\pi}$ dans les complexes ?

Ta dernière égalité dépend de $u$ et $v$, ce qui est étrange si tu ne les définis pas proprement (là c'est toujours basé sur ta supposition qu'elles existent).

Je pense que l'idée c'est donner des complexes qui ont une partie imaginaire non nulle. Là tes deux exemples sont des réels. D'ailleurs le second c'est aussi $1$…

Yep, il faut un complexe qui a une partie imaginaire non nulle. Si je pose $z = e^{i\theta}$, quel est l'argument de $z^n$ ? Et l'argument de 1 c'est quoi ?

Hello,

Voici un défi (que je n'ai pas encore résolu) que mon assistant d'analyse m'a donné:

Démontrer que la surface maximale que l'on peut peut faire avec une corde est un cercle (en considérant la corde infiniment fine).

Ca semble trivial mais apparemment c'est pas aussi facile que ça à résoudre!

En effet, c'est loin d'être trivial. Ce résultat est connu sous le nom d'inégalité isopérimétrique, et à ma connaissance aucune démonstration n'est élémentaire, au sens où toutes celles que je connais nécessitent des outils mathématiques assez avancés (accessibles disons à partir de 2 ans post-bac, voire 3, parfois même 4 ans¹). J'ajoute que ce résultat se généralise à n'importe quelle dimension finie.

La seule manière que j'aurais de résoudre ce problème c'est par une méthode des variations et, en effet, c'est pas du tout trivial.

Après on a des arguments possibles venant de symétrie du problème. Voir ça par exemple.

En effet, il existe une démonstration basée entièrement sur le procédé de symétrisation de Steiner ; elle ne fait pas du tout appel au calcul des variations. Si ça intéresse quelqu'un, j'avais rédigé un mémoire là-dessus l'an dernier, que je peux partager avec plaisir.

Je le suis !

Oui, apparemment c'est fin de Post-Bac 1, voir 2e année. Selon la personne qui me l'a proposée c'est faisable (par contre pour la sphère [volume maximal d'une surface donnée] c'est plutôt très tordu ) Ca m'intéresse aussi même si je risque de ne pas tout comprendre!