Une histoire de crues

Problème ultra-basique

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Auteur du sujet

Bonjour à tous,

J'ai un rapport à réaliser à propos de crues dans lequel je dois estimer les chances qu'une crue se produise. J'ai conscience que ce sont des probabilités extrêmement simples, mais j'ai toujours été une grosse bille dans le domaine alors j'aurais aimé qu'une gentille âme ait la bonté de me guider.

Prenons une crue centennale, c'est-à-dire une crue qui tous les hivers a une chance sur 100 de se produire. Comme ça parle d'entiers je suis parti sur une loi discrète et je suis tombé sur la loi géométrique qui semble être une version discrète de la loi exponentielle (et ce problème me fait penser à un truc exponentiel, répétition d'une expérience sans mémoire et tout ça). Ça donnerait la chose suivante : $$P(X=k)=p\times q^{k-1}$$

En faisant une application numérique pour $k=100$ je tombe sur un truc approchant les $3\times 10^{-3}$. Mais j'ai un peu du mal à comprendre ce que représente ce nombre. Serait-ce la probabilité de devoir attendre 100 ans avant qu'une crue se reproduise ? De coup, si je veux estimer la probabilité qu'après avoir attendu 100 ans, une crue se soit produite, c'est le complément de ce résultat ? (Je ne sais pas si j'utilise le bon terme, si ce n'est pas cela corrigez-moi, je veux dire par complément « un moins mon résultat ».)

En fait j'aimerais pouvoir dire à mon maître de stage « on attend X années, voici la probabilité pour qu'il y ait eu une crue pendant cette période ». Est-ce que je suis parti de bon côté ?

Après, j'aimerais également pouvoir estimer le nombre d'années à attendre avant que le phénomène ne se reproduise. Pour cela, j'ai pensé à la loi de Pascal de paramètre $\left(n,p\right)=\left(1, \frac{1}{100}\right)$. Est-ce que je suis sur la bonne voie ?

Je vous remercie.

“Programming today is a race between software engineers striving to build bigger and better idiot-proof programs, and the Universe trying to produce bigger and better idiots. So far, the Universe is winning.” – Rich Cook

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Staff

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Salut,

la loi "classique" à utiliser pour une variable prenant des valeurs aléatoires discrètes est la loi de Poisson. En as tu déjà entendu parler ?

Ici, on a affaire à un phénomène dont on peut supposer que :

  • le nombre de crues sur une période n'influence pas le nombre de crues sur les autres périodes (c'est pas vrai à court terme, mais sur une échelle de temps annuelle, c'est raisonnablement valide) ;
  • le nombre de crues potentiel est proportionnel à la durée de comptage (autrement dit, sur une période infinie, les crues sont réparties de façon homogène) ;
  • la durée d'une crues est infiniment courte devant la durée de comptage.

Ce genre de phénomène est appelé un phénomène de Poisson. Si $X$ est la variable aléatoire "nombre de crues pendant une durée" et $\lambda$ le nombre moyen de crues pendant cette durée, la probabilité d'observer $n$ crues est : $$P(X=n)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}$$ et la probabilité de n'observer aucun évènement sur une durée $T$ suit une loi exponentielle de densité de proba : $$f(T)=\lambda e^{-\lambda T}$$

Comme tu peux le voir, la question n'est pas forcément super-triviale. ^^

Édité par adri1

I don't mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. – W. Pauli

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Staff

Si je ne m'abuse, la loi de Gumble modélise la distribution des maxima atteints par une variable continue, ici le niveau des crues par exemple. La loi de Gumble ne permet donc pas de modéliser le nombre de crues par unité de temps, au contraire de la loi de Poisson. Les deux lois sont donc utiles pour modéliser le phénomène des crues, mais ne servent pas à la même chose…

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Pas nécessairement. Tu peux faire une prévision sur un niveau particulier et sur une période donnée sans avoir recours à la loi de Poisson. Tu peux par exemple te demander « quelle est la probabilité que j'observe une crue de plus de 1m dans les 50 prochaines années ».

On répond à priori à la même question, mais dans le cadre d'une information non-binaire (à contrario, avec la loi de Poisson c'est « crue ou pas crue »).

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Auteur du sujet

Donc si j'ai bien suivi, la probabilité d'observer au moins une crue sur une durée $T$ serait $f\left(T\right)=1-\lambda e^{-\lambda t}$ ?

Pour la loi de Gumble, effectivement, c'est intéressant. Je pourrais ainsi estimer la probabilité d'observer une crue suffisamment importante pour toucher le bâtiment que je dois analyser. Je vais regarder tout ça.

Je vous remercie pour vos réponses ! :)

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Staff

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Attention, $f(T)$ est une densité de probabilité, pas une probabilité. Lorsqu'on intègre, le $\lambda$ saute.

Tu peux le voir avec l'autre formule (en considérant $0!=1$ pour éviter les ennuis), tu auras $P=1-P(X=0)=1-e^{-\lambda}$ en prenant $\lambda$ le nombre moyen sur la période étudiée (qui vaut bien $\lambda T$ si les unités sont homogènes).

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Auteur du sujet

Ah oui, j'avais mal lu, au temps pour moi.

J'ai compris la formule que tu as utilisé, je vais pouvoir ajouter tout ça à mon dossier.

Merci beaucoup ! :)

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