Salut,
Je vais essayer de rendre cette réponse aussi complète et intéressante que possible.
En premier lieu, on peut remarquer que pour tout
$p$ et$x$ supérieurs à$1$ , on a$||f^x||_p = ||f||_{px} ^x$ .
Si cela est vrai, cela n'est pas très intéressant (à ma connaissance).
Cela me fait penser par contre à quelque chose d'intéressant qui est l'égalité suivante :
Mais attention, quand on écrit
Dans l'exercice, on parle d'espace de fonction qui prennent comme argument des points de
On peut alors définir quelque chose comme :
Avec
On appelle
L'étude de ces espaces est d'autant plus intéressante qu'au lieu d'associer une bête valeur statique en fonction des paramètres que l'on reçoit, elle renvoie un objet dynamique qui peut lui même agir et possède ses propres propriétés.
Une application très intéressante de l'étude de ces espaces est la résolution d'équation différentielle fonctionnelle de manière très rapide et facile. L'autre grande idée derrière ces espaces et l'unification de certaines transformations comme la convolution, transformée de Legendre, de Laplace, de Fourier, etc.
En effet, dans ce dernier cas, il suffit de remarquer que la transformée de Fourier n'est que la définition de
Et du coup, quel est le rapport avec l'inégalité donné plus haut ?
Et bien on peut munir
La définition est tout de même incomplète ou plutôt imprécise : qu'est-ce que
Mais quelle est l'interprétation de la norme de
On rappelle que si
En d'autres termes, la norme de notre fonction est contrôlée par la norme de son paramètre (et dans une certaine mesure, selon la norme, la fonction
Ainsi, la norme de
En pratique, déterminer
On va forcer l'application de l'inégalité de Holder. Soit p et q tel que p<q. En particulier on a
$1/q < 1/p$ On définit r tel que l'on a$1/q + 1/r = 1/p$ . Maintenant, on multiplie par$p$ . Et on obtient$p/q + p/r = 1$ . On peut alors utiliser Holder. Néanmoins,$p/r$ nous gêne mais on peut le faire disparaite en le mettant dans l'évaluation de la fonction constante égal à 1. De fait, on a
$||f|| < ||f||_{q/p}$
$||f^p|| < ||f^p||_{q/p}$
$||f||_p ^p < ||f||_q ^p$ Par stricte croissance de la fonction racine p-ieme, on a l'énoncé.
Voici ma correction détaillée et dans un espace plus général que
On remarque que
En appliquant Hölder à
Il reste à expliciter
Et donc,
En passant à la puissance
Evidemment, cela n'a un intérêt que si
Pour le contre-exemple afin de montrer que les normes ne sont pas équivalentes, je donne juste la suite à considérer et je vous encourage à rédiger pour vous en apercevoir vous même :
Il suffit d'écrire la norme
En quoi est-ce important ? C'est important en terme de difficulté. En dimension finie, les normes sont toutes équivalentes, ce qui signifie que si l'on a convergence d'une fonction pour une norme, on a également la convergence pour n'importe quelle autre norme. En pratique, il suffit donc de prendre la norme qui nous arrange en fonction du problème pour obtenir des résultats de convergence et autres propriétés qui peuvent en découler.
En dimension infinie, ce n'est pas le cas et on observe de problèmes d'existences ou de propriétés qui dépendent entièrement de la norme considérée. Dans des domaines aussi appliqué que l'optimisation, l'existence d'un minimum n'est plus aussi certain à cause d'un phénomène de « fuite à l'infini » qui dépend de la norme utilisée, etc.
Pour rentrer dans la polémique, cet exo est instructif mais il demande des trucs méga-balèses genre intégrale de Lebesgue (et co), et de la topologie, des trucs de tarés quoi ! En plus, l'inégalité d'Holder est admise. C'est peut-être un classique mais même en ayant fait l'exo, je sens que je n'ai pas fait grand chose au sens où comprendre déjà les prérequis théoriques à cet exo est dix mille fois difficile par rapport au fait de comprendre que la dimension infinie brise l'équivalence des normes. Hod, tu mets la barre assez hautes pour moi en tous cas ! Mais l'échange de l'exo, c'est sympa !
Merci
Je ne suis pas d'accord avec toi. D'une part, il ne demande pas de connaitre les intégrales de Lebesgue car j'ai fait exprès de me placer dans un espace de fonction continue donc mesurée et donc intégrable, à la fois chez Lebesgue comme chez Riemann, même si je me suis fais plaisir à généraliser aux espaces simplement mesurables dans ma correction. Le second point est que l'intégrale de Lebesgue n'est pas un truc « mega-balèze ». Cela simplifie la vie au niveau des applications, c'est beaucoup moins bourrin et bancal que la théorie de l'intégration de Riemann qui est un outil archaïque dépassé et qu'on ne devrait plus enseigner (parce qu'on a besoin de presque rien comme pré-requis supplémentaire, que l'intégration de Lebesgue englobe celle de Riemann et que en pratique il faut connaitre 3 choses : théorème de la convergence dominée, lemme de Fatou et théorème de convergence monotone).
La seule difficulté et c'est probablement de ma faute, c'est que je n'ai pas explicité des notations qui me paraissent vraiment usuelles, notamment sur la définition des normes (quoique j'ai donné la principale, celle dont notre
Autrement, regarde la correction que je donne : à partir manipuler des puissances pour me ramener à la définition de la norme donné par l'énoncé, je ne fais rien. 
). L'approximation va me fournir une autre fonction mais je ne connais pas l'erreur de mon procédé, d'où la norme qui me reseignera. Le problème, c'est que avec l'approimation, on considère plutôt la distance avec la fonction d'origine. Mais tu fais sûrement allusion à autre chose.).