Une théorie du premier ordre pour R ?

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Auteur du sujet

Salut !

Je fais quelques recherches actuellement autour de $\mathbf{C}$ et je suis amené à regarder l'axiomatisation de $\mathbf{R}$. Malheureusement je trouve rien sur une axiomatisation de $\mathbf{R}$ au premier ordre, y en a-t-il une ?

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Staff
Auteur du sujet

Le second lien passe pas et le premier semble incomplet.

Le souci étant que les axiomatisations que j'ai consultées utilisent toutes une quantification sur les parties de $\mathbf{R}$, ce qui sort du premier ordre.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Effectivement, j'ai édité. Mais je crois que ce lien sort du premier ordre.

EDIT: Je suppose que tu as déjà fait un tour ici?

Édité par pythan

Bevet Breizh! Breizh dizalc'h! Betek an trec'h! Ha mallozh ruz d'ar c'hallaoued!

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Staff
Auteur du sujet

J'ai pas accès au premier lien (404).

Le problème dans l'approche du second lien c'est qu'on a des modèles non isomorphes comme l'ensemble des nombres algébriques qu'on aimerait bien pourtant ne pas considérer comme une version de l'ensemble des réels.

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Staff

J'ai pas accès au premier lien (404).

Holosmos

Vire le ] présent à la fin du lien, ça marchera mieux. :)

Hier, dans le parc, j'ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

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Staff
Auteur du sujet

J'ai pas accès au premier lien (404).

Holosmos

Vire le ] présent à la fin du lien, ça marchera mieux. :)

Gabbro

Merci :). Toujours ce fameux bug !

Même commentaire pour ce lien que pour le deuxième d'ailleurs.

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Mais avec une théorie du premier ordre, il y aura toujours des modèles non-isomorphes s'il y a des modèles infinis. Pour voir qu'on aura toujours un modèle dénombrable (ce qui suffit ici), on considère chaque "il existe" comme un "constructeur" prenant en paramètre les "contextes" possibles dans lesquels il peut être. Par exemple, si on a un axiome disant "∀a, ∃b, blabla", ça nous fait un constructeur à un paramètre. On considère alors les expressions avec ces constructeurs (plus les symboles de la théorie), et on quotiente par ce que les axiomes forcent. On se retrouve alors avec un modèle dénombrable (si non-contradiction). Ici cette construction donne (effectivement) les nombres algébriques.

Édité par blo yhg

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