Exercice probabilités type-bac

Bonjour,

je vous fait l'impasse de l'énoncé complet et de toutes les questions (qui sont relativement simples) mais de la question qui me pose problème :

"On considère une urne contenant n jetons […] : 2 verts, 1 bleu et x rouges" (déjà, il y a n-3 jetons rouges).

En gros, on tire, avec remise à chaque fois que l'on prend un jeton, deux jetons de l'urne et :

• si on tombe sur deux jetons de même couleurs, on gagne 2€
• si on tombe sur deux jetons de couleurs différentes, on perd 1€

Donc j'établi la loi de probabilité de la variable aléatoire Z qui modélise le gain du joueur, pour arriver à l'espérance suivante (je passe les calculs) :

$\dfrac{2n²-18n+42}{n²} = 2 \times \dfrac{n²-9n+21}{n²}$, avec n le nombre total de jetons dans l'urne.

La question qui me bloque : "Selon le nombre de jetons rouges, étudier le caractère favorable ou défavorable du jeu pour le joueur".

Classique et plutôt simple d'apparence. L'idée et de regarder, avec un tableau de signe, le signe de $E(Z)$ en fonction du nombre de jetons n, et on étudie le caractère du jeu. Ensuite, on modifie n par n-3.

Le hic, c'est que ni $2n²-18n+42$, ni $n²-9n+21$ n'ont de solutions sur $\mathbb R$…

Du coup, le jeu sera toujours favorable au joueur? C'est idiot, non? Où est l'erreur dans mon raisonnement?

Merci.

C'est dommage que tu ne donnes pas les calculs qui t'amènent à l'espérance de ta loi Z ; j'écris peut-être trop vite mais elle me semble étrange.

EDIT : j'ai rien dit, mea culpa. Cela dit, ça ne t'empêche effectivement de conclure sur le caractère favorable ou non ni de dire par exemple quelle valeur de n minimise l'espérance, par exemple.

D'accord, il y a deux questions avant celle dont je vous parle ; "Établir la loi de probabilité de Z" puis "Prouver que $E(Z) = 2 \times \dfrac{n²-9n+21}{n²}$" :

Considérons les trois événements : V = "le joueur tire un jeton vert", B = "le joueur tire un jeton bleu", R = "le joueur tire un jeton rouge", pour chaque tours (je rappelle qu'il y a deux tours avec remise. Les événements sont donc indépendants).

Soit Z la variable aléatoire qui modélise le gain du joueur lors des deux tirages, on établie sa loi de probabilité :

D'une part, $p(Z = Z_1) = p(V)p(V) + p(R)p(R) +p(B)p(B) = (\dfrac{2}{n})^2 + (\dfrac{n-3}{n})^2 + (\dfrac{1}{n})^2 = \dfrac{4}{n^2} + \dfrac{n^2-6n+9}{n^2} + \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{n^2-6n+14}{n^2}$

D'autre part, $p(Z = Z_2) = 2p(V)p(B) + 2p(V)p(R) + 2p(B)p(R) = \dfrac{6n-14}{n^2}$

D'où, $E(Z) = Z_1 \times p(Z = Z_1) + Z_2 \times p(Z = Z_2) = 2 \times \dfrac{n²-6n+14}{n²} - 1 \times \dfrac{6n -14}{n²} = \dfrac{2n²-18n+42}{n²} = 2 \times \dfrac{n²-9n+21}{n²}$ .

Donc E(Z) est toujours positif sur $\mathbb R$?

Pour tout nombre de jetons rouges, on y gagne? Je trouve cela illogique. Tu peux expliquer ce que tu dit au dessus? Je ne comprend pas…

Pour la culture G, les jeux trop favorables aux joueurs (parce que le jeu a été mal conçu), ça a existé ; un exemple classique serait le problème de Monty Hall. Depuis, je suppose qu'on fait vérifier assez précisément que les probabilités sont en faveur de la banque plus que du joueur.

Ps :

J'ai l'impression que ce que dit Goeland-croquant, c'est que l'on pouvait voir que l'espérance tendrait vers 2 lorsque n tend vers l'infini.

C'est effectivement ce que je voulais dire pour n -> infini ; et même si il n'y a aucune boule rouge, finalement ça reste assez favorable puisqu'il y a alors peu de couleurs différentes. FInalement ce n'est pas si surprenant que le jeu soit toujours favorable, même si ce n'était pas couru d'avance.

C'est comme quand tu veux décaler le graphe d'une fonction vers la droite.

Je vois bien ce dont tu veux parler. Mais les racines du trinôme au numérateur de l'espérance, en fonction de x jetons rouges, ne sont pas réelles (ce qui est logique puisque ce n'est pas le cas pour n jetons aussi):

$f(x+3) = \dfrac{2(x+3)^2 - 18(x+3) + 42}{x^2} = \dfrac{2x^2 - 6x + 6}{x^2}$…

Et comme il n'y a qu'un jeton bleu, le caractère favorable du jeu se comprend.

En fait, si le trinôme au numérateur de l’espérance en fonction des n jetons avait des solutions réelles, j'aurais décrit le caractère favorable ou non du jeu pour le joueur selon plusieurs encadrement de n, puis j'aurait soustrait 3 à chaque partie de l'encadrement. Je comprends, c'est vachement mal expliqué… Autrement dit, imagines (c'est un exemple, hein, c'est pas les vrais valeurs) que tu as pour :

$5 < n < 7, E(Z) > 0$, alors pour $2 < n-3 < 4, E(Z) > 0$. Mais c'était une simple idée, ça peut très bien ne pas être valable…

Aussi, en calculant $f'(n)$ (la fonction qui exprime l'espérance en fonction de n jetons), on remarque que f accepte un minimum en 5, ce qui confirme ce qui a été dit au dessus par Goeland-Croquant.

Si tu veux te rassurer, ou si tu es curieux, tu peux refaire tout l'exercice avec comme hypothèse :

Si on tombe sur 2 jetons de même couleur, on gagne X euros. (si X=2, c'est l'exercice initial).

Tu devrais pouvoir vérifier par exemple que plus X est grand, plus l'espérance de gain est élevée. Et tu devrais aussi pouvoir calculer pour quelles valeurs de x et de n le jeu est équilibré (c.a.d l'espérance de gain vaut 0).

Je suis passé à d'autres exercice (notamment sur la loi binomiale), mais je reprend celui-ci dès que je peux.