Petite astuce pour retrouver facilement les angles remarquables en trigonométrie

C'est effectivement ce à quoi je pensais en rédigeant cet article. Je voulais mettre le moins de chiffres possibles pour offrir le meilleur degré d'abstraction et faire en sorte que le lecteur puisse retrouver les valeurs du tableau qu'en se souvenant du moyen mnémotechnique et non des valeurs en soi

De ce que je lis grâce à nos très chers critiques, c'est que cette méthode est généralisable pour k variant seulement dans {1, 2, 3, 4, 6}, intéressant… Par contre, Luca-84, je n'ai pas compris ce que représente ton application ϕ(.) ?

Enfin, ce qui me rassure, c'est qu'il y a de vrais pros ici !

PS : Je m'excuse pour le retard dans mes réponses, vie (trop) active…

φ est la fonction totient d'Euler.

Ici, il s'agit de compter le nombre d'angles « algébriquement indiscernables » de l'angle qui nous intéresse (on va dire τ/k¹). Par exemple, √2 et -√2 sont algébriquement indiscernables (sur ℚ) car on ne peut pas « voir la différence » entre les deux si on ne s'autorise qu'à faire des manipulations « algébriques », avec des rationnels. Par exemple, pas le droit de savoir si un nombre est positif, cette notion n'existe pas. Tout ce qu'on a le droit de faire, c'est multiplier, diviser, additionner, soustraire, utiliser des constantes rationnelles et tester une égalité. Tout ce qu'on sait, c'est que le carré de √2 est 2 (et pareil pour -√2).

Pour en revenir aux angles, on travaille sur le plan complexe, en associant le point $e^{i\theta}$ à l'angle θ. Si deux points du cercle sont algébriquement indiscernables, alors il en va de même pour leurs parties réelles puisqu'elles sont obtenues par des manipulations algébriques (on prend la moyenne du nombre et de son inverse). Soit $x = e^{i\tau/k}$. On voit déjà que $x$ satisfait l'équation $X^k = 1$. Les points satisfaisant cette relation algébrique sont les puissances de $x$, auxquelles on peut penser comme les entiers modulo k avec l'addition.

On sait donc que tous les points indiscernables de $x$ satisfont $X^k=1$. Mais la réciproque n'est pas vraie : par exemple, $1$ satisfait cette équation mais est discernable de $x$. On peut distinguer certains points facilement. Par exemple, -1 a son carré égal à 1, donc si k > 2, il est discernable de x. On peut ainsi discerner de $x$ les points qui ont une puissance nième égale à 1, avec n < k. La fonction φ compte le nombre de points indiscernables par cette méthode, et en fait je ne dis pas pourquoi mais tous les points discernables le sont par cette métode (cherchez « cyclotomic polynomials » pour en savoir plus). Quand on prend le cosinus de ces nombres indiscernables de x, on se retrouve avec moitié moins de nombres (un nombre étant toujours algébriquement indiscernable de son conjugué).

Ainsi, on voit que la partie réelle de $x$ est indiscernable d'au moins φ(k)/2 réels. Or une racine √q ne peut être algébriquement indiscernable que d'au plus son opposé (puisqu'aucun autre nombre n'a q pour carré).

Je me permet de relancer le sujet (en tant que PA), que devient la rédaction de ce tuto ? Est-ce que tu as des relectures à demander ?

Bonjour, avec l'université et le boulot, j'ai peu de temps libre mais dès que je le modifierai, je préviendrai ici, j'ai eu des critiques très constructives qui amélioreront l'article. Je n'ai pas de relectures à demander pour le moment, non.

Salut,

Est-ce que tu as pu te remettre à la rédaction ? Si tu manques de temps, est-ce que tu souhaites que je cherche quelqu'un qui puisse t'aider à finir ?

Salut, oui j'ai pu corriger un peu par ci par là, j'ai l'impression qu'il y a un bug d'affichage au niveau des tableaux, c'est bizarre !

Non merci pour la proposition, c'est vraiment gentil mais je pense qu'il ne reste quasiment plus grand chose J'ai tenu compte des critiques.