Petite astuce pour retrouver facilement les angles remarquables en trigonométrie

Tout le monde se secoue !

J'ai commencé (dimanche 12 juin 2016 à 14h15) la rédaction d'un article au doux nom de « Petite astuce pour retrouver facilement les angles remarquables en trigonométrie » et j'ai dans l'objectif de proposer en validation un texte aux petits oignons. Je fais donc appel à votre bonté sans limite pour dénicher le moindre pépin, que ce soit à propos du fond ou de la forme. Vous pourrez consulter la bêta à votre guise à l'adresse suivante :

Peut-être allonger la sauce en expliquant c'est quoi les sinus… bref, faire des rappels élémentaires de tout ça

La cotangente est l'inverse de la tangente, $\cot = \frac{1}{tan}$.

Le vocabulaire pourrait faire penser à $\arctan$.

Des rappels pourquoi pas, mais expliquer ce qu'est la fonction $\sin$, c'est je pense à faire dans un tutoriel à part. D'ailleurs, il me semble que Aabu avait commencé un truc à ce sujet. A moins que ce soit un contenu en validation, ché plus.

Le vocabulaire pourrait faire penser à arctan.

Dans un contexte mathématiques, il y a des mots, équivalents dans la vie courante, à manier avec précautions : inverse, réciproque et opposé. L'inverse de tan est 1/tan, soit cotan, l'opposé de tan est -tan, la fonction réciproque de tan est arctan.

Le terme inverse ne devrait pas être ambigu, et la notation tan^-1 pour arctan est à éviter à cause des confusions possibles. Dans le tuto, les notations sont ambigu. C'est mal.

De manière tout aussi rigoureuse, il y a aussi des gens qui définissent : $\cot = \frac{\cos}{\sin}$ qui va différer de $\frac{1}{\tan}$ de par le domaine de définition. Par exemple, on peut définir $\cot\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$, alors que l'on ne le peut avec la définition de l'invrse. Sur deux sites, deux définitions différentes, donc pas moyen de se décider…

Sinon dans la section En résumé, une petite faute de frappe avec la fonction $\sin$ qui se transforme en fonction $\mathrm{in}$. D'un point de vue purement typographique, il est préférable d'utiliser $\sin$ plutôt que $sin$. L'une est la fonction sinus, l'autre est le produit des variables $s$, $i$ et $n$. D'ailleurs, ça t'aurait évité la faute de frappe précédente

Je confirme que, si les contenus courts ne sont pas gênants en soi (cf. ici par exemple), celui-ci est vraiment court, et si tu trouves un moyen de l’étoffer, ce n’est pas plus mal.

Sinon, concernant les tags du tuto, tu devrais te limiter à « trigonométrie ». En effet, « mathématiques » fait doublon avec le nom de la catégorie, et « angles » n’apporte rien par rapport à « trigonométrie ». Si je dis cela, c’est qu’on essaye de limiter la prolifération des tags.

Merci beaucoup, je prends en compte toute vos remarques, je tâcherai de corriger mes erreurs et rallonger l'article en expliquant certaines choses dont la fameuse question

Concernant cot, il s'agit de l'inverse de tan selon moi. Que ce soit littéralement ou mathématiquement.

$\tan{x}$ = $\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$

$\cot{x}$ = $\frac{\cos{x}}{\sin{x}}$

$\cot{x}$ = $\frac{1}{\tan{x}}$

Mais comme dis plus haut, selon la seconde ou troisième formule, le domaine de définition diffère ! Personnellement, je pense que pour un lycéen qui lirait cet article, celui-ci ne se tracassera pas pour ce genre détail et ne retiendra que l'inversion des valeurs de la ligne de $\tan{x}$.

Merci encore pour vos retours !

T'as vraiment une explication à pourquoi la méthode fonctionne ? Sinon juste donner des preuves visuelles étofferait l'article.

D'autre part, je ne suis pas fan de ta manière de tourner les choses. Je préfère penser qu'il y a trois valeurs à retenir, une petite, une moyenne et une grande, et visualiser le cercle pour connaître celle qu'on veut (avec le signe).

J'ai ma petite idée concernant le fait du pourquoi du comment mais je posterai d'abord la réponse ici pour avoir vos avis et surtout, cette méthode a été trouvée par flemmardise et non par analyse donc je ne veux pas me vautrer haha

Ta manière de voir les angles remarquables me plait également, je l'utilisais avant cette méthode Je retenais juste les angles et savait les trier de manière croissante et leur associer leur valeur respective mais cela nécessitait que je retienne des chiffres que j'oublierai tôt ou tard par fainéantise ($\frac{\sqrt{3}}{2}$ par exemple).

Aussi, je m'excuse si j'ai l'air un poil non rigoriste en la matière J'adore les maths mais pas les formules et valeurs à retenir. Je préfère dériver et intégrer plutôt que de retenir des formules prémachées.

Concernant le signe des valeurs, je me suis dis qu'un étudiant lycéen sachant où se situe sin et cos sur le cercle trigonométrique saura quand mettre un - et quand il ne faudra pas.

Concernant mon vocabulaire, pour moi et je pense pour tout le monde :

• L'opposé est le fait de mettre un nombre sous sa forme négative (x devient -x)
• L'inverse est le fait de diviser 1 par le nombre en question (x devient 1/x)
• La réciproque correspond à l'inversion de l'ensemble de départ et d'arrivée d'une application, qu'elle soit linéaire ou pas (cos devient Arccos, sin devient Arcsin, etc.)

Ce sont surtout des coïncidences numériques. Cette technique est pas (ou peu) généralisable pour des angles moins classiques comme $\pi/5$.

Mon « coïncidençomètre » s'active un peu moins que pour des égalités marrantes comme 1³+…+5³+6³+5³+…+1³ = 666.

Pour éclaircir un peu, on peut remarquer que si $a+b = n^2$, alors $\left(\frac{\sqrt{a}}{n}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{b}}{n}\right)^2 = 1$, ce qui donne l'axe de symétrie (√0/2 ↔ √4/2, √1/2 ↔ √3/2 et √2/2 ↔ √2/2). Le truc que ça n'explique pas est que l'arc cosinus de (√1)/2 est un angle rationnel, mais ça se voit pas trop difficilement.

Nan mais la vrai question c'est à quoi ressemblent les triplets $(i,j,k)$ tels que $\cos(\pi/k) = \sqrt{i}/\sqrt{j}$.

Je pense qu'il n'y a que les solutions dans la méthode de l'article (pour k=1,2,3,4,5,6 sauf 5 en fait) car les autres angles ont trop de symétries algébriques (il n'y a que le signe d'ambigu ici). Il faudrait détailler. Mais je ne vois pas comment expliquer avec cette piste la progression par pas de 1. Tu avais quelque chose d'autre en tête ?

edit : ok, ça ne se généralise donc à aucun autre angle rationnel, en tous cas pas sous cette forme.

Tous les $\cos\left(\frac{\pi}{k}\right)$ qui vérifient ça sont algébriques de degré $\le 2$ sur $\mathbb{Q}$. Le degré d'algébricité de $\cos\left(\frac{2 \pi}{k}\right)$ est 1 si $k \le 2$ et $\frac{\phi(k)}{2}$ sinon (les preuves traînent sur le Web). Dans ce cas $k = 1$ ou $\phi(2k)=2$ ou $\phi(2k)=4$, ce qui limite bien la recherche (à 1, 2, 3, 4, 5, 6 en fait, et seul 5 ne vérifie pas ça parce que son polynôme minimal a un terme en $X$).

Quelle est cette fonction $\varphi$ que tu introduis ? La seule que j'ai vue avec cette notation est la fonction indicatrice d'Euler, et je ne vois pas trop ce qu'elle vient faire ici

Je ne suis pas du tout d'accord avec toi. L'idée de cette méthode est ne pas faire d'apprentissage par coeur, mettre un tableau de nombre serait stupide puisque cette méthode est mnémotechnique. Je trouve ça plus intelligent de mettre les phrases qui se retiennent plus simplement.

Je suis d'accord avec toi : la méthode est mnémotechnique. Je trouve juste que mélanger des chiffres et des phrases dans un tableau, ça perd en lisibilité. En plus, c'est juste une répétition de ce qui est dit dans le paragraphe

Dans tous les cas, ça reste un détail.