Problème complexe

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Auteur du sujet

Bonjour, il y a un exercice où j'ai du mal à dresser mon raisonnement, si quelqu'un peut m'aiguiller :

Soit $i^2 = -1$. Conjecturer une règle donnant $i^n$ selon $n \in \mathbb N$ et la prouver par récurrence.

Je pense que l'on peut procéder par disjonction de cas en prenant n pair et n impair. Mais de tête, je dirais que soit on a 1 ou -1 pour n pair, soit on a $i$ ou $-i$ pour n impair…

J'ai donc du mal à établir mon hypothèse de récurrence.

Merci d'avance. :-)

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Staff

Personnellement je trouve ça très débile de montrer par récurrence (une disjonction de 4 cas fait l'affaire …). Mais bon.

Tout d'abord, commence par établir ce que tu veux démontrer. Après on discutera de la preuve.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Moi aussi! En appliquant les règles des puissances ça se fait en deux temps trois mouvements!

Par exemple, pour $i^{2713}$, on a $\dfrac{2713}{2} \notin \mathbb N$ donc on fait $i^{2713} = i^{2712} \times i$ et comme $2 \mid 2712$ alors $i^{2713} = 1$ donc $i^{2713} = i$. Le problème peut-être, c'est lorsque notre exposant est pair mais qu'il donne un résultat négatif, exemple avec n = 10. Il suffit de faire $i^{10} = (i^2)^5$ et on se rend compte que 5 est impair donc le résultat n'est pas 1 mais -1.

J'avais pensé à utiliser les racines : Si n pair, $i^n = (i^2)^{\dfrac{n}{2}} = \sqrt{i^{2n}}$

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Ça peux aussi se démontrer relativement facilement par récurrence:

  • Initialisation: $i^0 = 1$.
  • Récurrence:
    • Si $i^n = 1$, alors $i^{n+1} = i$
    • Si $i^n = i$, alors …

Après, je suis d'accord que c'est bien plus simple de faire une démonstration directe en utilisant $i^4 = 1$.

Édité par Berdes

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Staff

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

Pour faire une démonstration directe il faut regarder $n$ modulo 4, c'est ce qu'il y a de plus synthétique.

Pour la démonstration par récurrence, j'imagine qu'il s'agit de montrer qu'on a le cycle $(1,i,-1,-i)$.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

J'ai un autre problème avec les complexes :

Soit la fonction f de $\mathbb C$ dans $\mathbb C$ telle que $f(z) = z (\bar{z} + 1)$ avec $z = a + bi, (a,b) \in \mathbb R^2, i^2 = -1$.

L'idée est de trouver l'ensemble des points M d'affixes respectant la condition suivante : $Re(f(z)) = 4$.

Donc $z (\bar{z} + 1) = (a+bi) \times (a-bi+1) = a^2 + a + b^2 - bi$. On cherche donc $a^2 + a + b^2 = 4$, comment trouver toutes les solutions?

Une autre condition (à part) dans mon exercice est : $Re(f(z)) = Im(f(z))$… Comment cela est-ce possible?

Merci d'avance.

Éternel curieux

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Staff

C'est pas a première fois que tu résous quasiment le problème, mais tu vois pas la fin. :D

$a²+a+b²=4$, c'est quasi-fini. Tout les $b$ tel que $b=\pm \sqrt{a^2+a-4}$ marchent. Y'a plus qu'a trouver les $a$ qui sont compatibles avec ça, et c'est fini.

Pour l'autre problème, je rappelle que Re(z) = a et Im(z) = b. Je te laisse écrire la même chose pour f(z).

Hier, dans le parc, j'ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

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Il me semble que tu t'es trompé de signe sur la partie imaginaire lors de ton développement.

Sinon, pour ton équation, tu devrais facilement identifier une forme géométrique, et donc trouver l'ensemble des points qui correspondent à l'équation.

Pour la seconde question, $Im(z)$ est un nombre réel, donc ça ne devrait pas poser problème.

Auteur du sujet

Yo, en fait j'ai fait une erreur de signe sur le site mais pas sur ma fiche, donc voilà la raison pour laquelle je niais mon erreur! :-p

Sinon, merci gabbro pour l'idée. Sauf erreur de ma part, après calcul du discriminant, je conclu que b existe si le trinôme au sein du radical est positif. Donc il est positif à l'extérieur des racines qui sont $\dfrac{-1 - \sqrt 17}{2}$ et $\dfrac{-1 + \sqrt 17}{2}$.

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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Auteur du sujet

Donc les points d'affixe $a + \sqrt{a^2+a-4} \times i$ conviennent avec $a \quad \in \quad ]- \infty ; \dfrac{-1 - \sqrt 17}{2}] \cup [\dfrac{-1 + \sqrt 17}{2} ; + \infty[$

On est d'accord ou pas? :euh:

Édité par Ozmox

Éternel curieux

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