Ta modelisation ne va pas tout a fait. Deja j’ai pas tout compris, je pense qu’il y a des trucs bizarres dans les notations ($S$ et $M$ qui deviennent $A$ et $B$, $n$ et $m$ qui sont utilises pour differentes choses). Ensuite les deux implications que tu as ecrites sont equivalentes (elles sont contraposees l’une de l’autre) et ne sont pas equivalentes a la proposition en footnote (il manque la reciproque). Enfin, le modele des petits carres que tu donnes n’est pas satisfaisant parce que ce n’est pas une caracterisation (si on se prend 4 points $A$, $B$, $C$ et $D$ avec les coordonnees que tu as definies, parfois on va tomber sur un truc qui n’est pas un carre — en fait, on va obtenir tous les rectangles a coordonnees dans ta grille).
La consequence, c’est que la demonstration qui suit n’est pas tres formelle et ne se rapporte pas a ce que tu as ecrit avant (meme si encore une fois elle convient "intuitivement", si on veut "prouver definitivement" cette hypothese, il faut etre un peu plus rigoureux).
Pour te donner une idee de ce que pourrait etre une "bonne" modelisation (meme si t’en es pas loin, il manque en gros juste une contrainte supplementaire), il faut pas oublier que notre but c’est de compter des choses. On va dire pour le moment qu’on a une boite noire qui sait "compter" le nombre d’elements des parties finies de $\mathbf{N}$ (p.ex., dans $\{0, \ldots, n\}$ il y a $n+1$ elements), le nombre d’elements dans une union disjointe d’ensemble de ce type (p.ex. dans $\{0,1\} \cup \{4, ... n\}$ il y a $2+n-3$ elements) et le nombre d’elements d’un produit cartesien d’un nombre quelconque d’ensembles de ce type (p.ex. avec 2 ensembles : dans $\{0, \ldots, n\} \times \{4, \ldots, n\}$ il y a $(n+1)(n-3)$ elements). Du coup l’ideal ca serait de modeliser l’ensemble des petits carres comme un ensemble de ce type (par exemple si tu dis "un carre est strictement equivalent a la donnee de deux entiers, respectivement entre $0$ et $n$ et entre $3$ et $n$", la boite noire te repond : ok, il y a donc $(n+1)(n-3)$ carres).
Y a pas unicite de la bonne reponse a ces questions, mais je pense que quasiment toutes les methodes se generalisent tres facilement a la dimension $d$. 
Plus generalement avec