Condition suffisante et/ou nécessaire

Salut,

Dans un exercice il est demander de comparer la véracité de plusieurs assertions. Soit H l'ensemble des hommes, M et E deux prédicats sur H où pour h dans H, M(h) signifie qu'il a menti au cours de sa vie et E(h) qu'il va en enfer.

• "Pour aller en enfer, il suffit d’avoir menti"
• "Avoir menti est une condition suffisante pour aller en enfer"

C'est bien la même phrase logique, non (implication M(h) $\Rightarrow$ E(h) quelque soit h)?

Sinon, pouvez-vous éclairer plz?

De plus quand ils écrivent :

"Si je suis en enfer c’est que j’ai menti" au lieu de "Pour aller en enfer, il faut avoir menti", c'est sûrement qu'il faut utiliser le quantificateur $\exists$ en traduisant en phrase mathématique?

Merci.

Eh bien, il est aussi demander dans l'exercice de traduire en phrase mathématique les assertions données en langue française. Donc si je traduit "Si je suis en enfer c’est que j’ai menti" j'écrirai : $\exists h \in H, E(h) \Rightarrow M(h)$ et si je traduit "Pour aller en enfer, il faut avoir menti" : $\forall h \in H, E(h) \Rightarrow M(h)$.

En fait je trouve ça étrange car il y a au moins dix phrases donc si je dois ré-écrire la même chose à chaque fois…

Pour moi il y a une erreur de raisonnement. Parce que "Pour aller en enfer, il faut avoir menti" et "Si je suis en enfer c'est que j'ai menti", ça veut dire la même chose.

Pourtant, c'est marqué noir sur blanc dans l'énoncé qui se trouve à ce lien (exercice 9 vers la fin)…

Ce que j'ai dit ne rentre pas en contradiction.

Ce qui pose problème, c'est que tes deux formules ne sont pas logiquement équivalentes alors qu'elles devraient l'être.

Mais si je vais en enfer, alors on ne parle que de mon cas, pas de celui des autres…

Ouai je vois. C'est étrange mais j'ai pas l'impression de faire des maths, plutôt de la philosophie. Je trouve les exercices trop concrets en fait.

T'inquiètes pas, les maths c'est pour bientôt.

Mais là c'est pas vraiment philosophique, c'est plus de la lecture. C'est le genre de choses que t'as besoin de savoir pour discuter avec les gens. Sinon y a plein de malentendus qui apparaissent.

J'ai un autre pépin, cet fois-ci avec un exemple beaucoup plus mathématique, c'est par rapport à l'exercice 7.

Je sais que la première assertion (implication $\Rightarrow$) est fausse car la suite n'est pas définie. La seconde (toujours $\Rightarrow$) est vraie car la suite est cette fois-ci bien définie. En revanche, je ne vois pas pour les réciproques…

Car la suite n'est pas définie ?

Je me suis mal exprimé.

Si j'écris : $\forall n ∈ N, u_n = 2^n \Rightarrow u_{n+1} = 2^{n+1}$, cela signifie que chaque fois que la première égalité est vraie, alors la seconde est vraie aussi. Alors que si j'écris : $(\forall n ∈ N, u_n = 2^n) \Rightarrow (\forall n ∈ N, u_{n+1} = 2^{n+1})$, d'abord je définis ma suite par $u_n = 2^n$ et ensuite je peux dire que l'égalité $u_{n+1} = 2^{n+1}$ est vérifiée pour tout terme de cette suite.

Donc la première assertion est fausse, la seconde est vraie (du moins, je pense. ). Dans le cas des réciproques, j'ai du mal à voir…

J'ai l'impression que le but de l'exercice est de souligner le rôle des parenthèses, inexistantes dans la première expression.

C'est exactement ça en fait, mais je me demande si ça change quelque chose pour les réciproques.

Bah si une expression "n'a pas de sens" (parce que bon, faut pas abuser, on comprend tous ce que ça veut dire) alors réciproque ou pas, elle n'a pas de sens.

Et si elle a du sens dans un sens?

Eh bien il faut le préciser. Alors réfléchis à comment faire. Si je suis un ordinateur, je te réponds « je ne sais pas ce qu'est $u$ » et pis voilà.

$u$ est une suite. C'est écrit dans l'énoncé.

Attends, il y a quatre questions dans l'exercice :

Est-ce que la première assertion est vraie avec $\Rightarrow$? Et avec $\Leftarrow$? Est-ce que la seconde assertion est vraie avec $\Rightarrow$? Et avec $\Leftarrow$?

Déjà, de quelle question du parle?