Contre-exemple lors d'un raisonnement par l'absurde : mauvaise idée

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Auteur du sujet

Bonjour, j'ai un exercice dans lequel il faut que je montre que pour n un entier naturel non-nul, $\sqrt{n^2+1}$ n'est pas un entier.

Par l'absurde, je suppose que $\sqrt{n^2+1}$ soit un entier et donc je pose $k \in \mathbb N$ tel que $k^2 = n^2+1 \iff n^2 = k^2 - 1 = (k-1)(k+1)$.

Là, j'ai l'impression d'être bloqué. Pourtant, je dirais que si je prend k = 4, alors $n = \sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{15} \notin \mathbb N$ et on aboutit à une contradiction. Le problème c'est qu'il faudrait montrer que $\sqrt{n^2+1}$ n'est pas un entier pour tout naturel non-nul $n$

Pouvez-vous m'aider à sortir de ce terrain boueux?

EDIT : Problème avec une identité remarquable, désolé.

Édité par anonyme

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( Il y a un problème dans ton identité remarquable. Par ailleurs ton contre exemple n'est valable que pour un cas. Tu nies l'hypothese absurde : "pour tout n, sqrt(n $\times$ n+1) est un carré" ce qui revient à prouver : "il existe n tel que sqrt(n $\times$ n+1) n'est pas un entier". )

Concrètement j'aurai plutot étudié la difference entre deux entiers consécutifs pour montrer que l'écart est toujours supérieur à 1.

EDIT : post original corrigé entre temps

Édité par regz

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Concrètement j'aurai plutot étudié la difference entre deux entiers consécutifs pour montrer que l'écart est toujours supérieur à 1.

Deux entiers consécutifs. :P

Sinon, on peut aussi partir avec des factorisations comme veut faire Ozmox, même si je trouve ça moins direct (j'allais dire moins généralisable mais en fait un peu quand même).

Là, j'ai l'impression d'être bloqué. Pourtant, je dirais que si je prend $k = 4$, alors $n = \sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{15} \notin \mathbb N$ et on aboutit à une contradiction.

Je ne comprends pas.

Édité par blo yhg

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Auteur du sujet

En me relisant je remarque que j'ai du mal à comprendre ce que j'ai écrit en fait, je pense que j'ai pris le mauvais chemin. Je doit montrer que : $\forall n \in \mathbb N^*, \sqrt{n^2+1} \notin \mathbb N$. Donc par l'absurde, je suppose : $\exists n \in \mathbb N^*, \sqrt{n^2+1} \in \mathbb N$

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Cette réponse a aidé l’auteur du sujet

J'ai pas1 bien compris, mais là tu as montré qu'il existe un $k$ tel que $k^2 - 1$ n'est pas un carré (??). Pour comparer, tu voudrais supposer qu'il existe un $n$ tel que $n^2+1$ soit un carré et en déduire une contradiction.


  1. edit : mot oublié. 

Édité par blo yhg

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Je dirai que tu es très très proche de la solution. Tu considère $n$ un entier naturel non nul et tu supposes que $\sqrt{n^2 + 1}$ est aussi un entier naturel non nul, égal à $k$. Tu en déduis l'équation $k^2 = n^2 + 1$.

Là, t'as presque gagné : il ne te reste qu'à montrer qu'il n'existe pas de $n, k$ entier naturel non nul qui respecte cette équation. ;)

Il y a bien des façons de passer à l’acte. Se taire en est une. Attribué à Jean-Bertrand Pontalis

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Auteur du sujet

blo yhg, pourquoi parles-tu de carré, on parle d'entier dans l'énoncé. Je pense que c'est une erreur dans mon raisonnement qui te fais penser ça, pourtant, je suis simplement partit de $k^2 = n^2 + 1$ comme dit gabbro, pour montrer qu'il n'y a pas de n et de k naturel non nul qui respecte cette équation.

Édité par anonyme

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Auteur du sujet

Je pense avoir trouvé quelque chose, en partant de k² = n² + 1, on a k² - n² = 1 d'où k - n = 1/(k+n). Donc 0 < k - n < 1. Je pense qu'il est possible de conclure ou alors je ne vois pas trop quoi faire à cette étape… Ne s'agit-il pas de la méthode de regz?

Édité par anonyme

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En effet, tu as (k-n) et (k+n) entiers qui divisent 1, cependant les seuls diviseurs de 1 sont dans {-1,1}, à partir de la c'est fini. (D'ailleurs ton inégalité stricte n'est pas très justifiée)

De mon coté, je pensais plutôt étudier $f:x \rightarrow (x+1)^2 - x^2$ c'est à dire $f(x) = 2x + 1$ sur $R^+$.

Édité par regz

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Auteur du sujet

J'ai édité pour l'inégalité en revanche le rapport ne peut être égal à zéro.

Je vois où tu veux en venir avec l'étude de la fonction mais j'ai oublié de préciser que l'énoncé demandait un raisonnement pas l'absurde.

@blo yhg : Ok pour le carré d'un entier, j'ai compris. Je trouve la méthode de regz pratique mais en factorisant, il faudrait que j'essaye. Je peux te mp si tu veux.

Édité par anonyme

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Tu peux tourner la méthode de regz comme un raisonnement par l'absurde. Essaie de l'appliquer pour montrer qu'il n'y a pas de solution non triviale à k2-n2=1. Notes qu'avec fx=x2 ça s'écrit fk - fn = 1.

La méthode par factorisation est celle que regz a donnée dans la première partie.

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Auteur du sujet

Tu peux tourner la méthode de regz comme un raisonnement par l'absurde. Essaie de l'appliquer pour montrer qu'il n'y a pas de solution non triviale à k2-n2=1. Notes qu'avec fx=x2 ça s'écrit fk - fn = 1.

blo yhg

Je pense avoir besoin de voir déjà comment faire en étudiant simplement f(x) = 2x + 3 sur R+. Tu peux me donner une version de ta réponse s'il-te-plaît regz?

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Auteur du sujet

@regz : Au passage, "D'ailleurs ton inégalité stricte n'est pas très justifiée", dans l'énoncé il est dit que n est un entier naturel non-nul…

Édité par anonyme

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Auteur du sujet

Eh bien, $n \in \mathbb N^*$ donc $n \geq 1$ et comme $k^2 = n^2 + 1$, on peut écrire $k^2 > k > 1$ d'où $k + n > 1$. Donc $\dfrac{1}{k+n}$ se trouve bien dans $]0, 1[$.

Édité par anonyme

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