Salut les agrumes, je bloque sur un petit exercice d’arithmétique/algèbre linéaire .
Exercice 3.
On considère le polynôme $P(X)=X^{4}+X+1 \in \mathbb F_{2} [X] $ et soit $ K=\mathbb F_{2} [X]/(P) $ . On note $\alpha \in K $ la classe de X.
1) Montrer que K est un corps. Quel est son cardinal ?
Réponse : je n’arrive pas à montrer cela rigoureusement, je suis censé montrer que le polynôme P est irréductible (i.e : qu’il ne possède pas de racines dans $ \mathbb F_{2} $ ) . Vu la tête du polynôme, il doit surement avoir ses racines dans $ \mathbb C $ mais comment le montrer proprement? Son cardinal est ensuite : $ | \mathbb K|= 2^{4} = 16 $
2) Montrer que $ P(X^{2}) = P(X)^{2} $ .En déduire que P a 4 racines distinctes dans K dont on donnera les valeurs.
Réponse : Alors pour ce qui est de montré l’égalité, il n’y a aucun problème c’est trivial, par contre je ne visualise pas quelle information cela apporte sur les racines de P?
3) Donner une base du $ \mathbb F_{2} $ - espace vectoriel K.
Réponse : En posant $ \alpha = X + P $ , soit $ \alpha = X^{4} +1 $ , j’obtiens le système $ (\alpha ^{i} ) $ (avec i compris entre 0 et n-1) qui est une base du $ \mathbb F_{2}$ - espace vectoriel K.
4) Déterminer l’ordre de $ \alpha $ dans le groupe K* .
Je connaît la définition de l’ordre d’un élément, mais si on la transpose à cet exercice on obtient cela :
$ \alpha ^{k} = 1$ avec k l’ordre de $\alpha$
Si je mets toute l’expression du polynôme à la puissance k, je suis bloqué, une indication pour savoir vers quel chemin regarder ?
Je vous remercie d’avance,
