Banni
Je pense que la propriété qu’Ozmox a envie d’utiliser (et qu’il devrait identifier) est $f^{-1}(A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$.
Concernant le fait que c’est mieux d’étendre la définition de fonction réciproque à un ensemble quelconque, du point de vue de "la théorie des ensembles" (l’idée que je m’en fait) je suis d’accord, mais pas en général. D’un point de vue catégorique, un sous-ensemble est un monomorphisme (ou une classe d’équivalence éventuellement), ou bien un morphisme vers l’ensemble {⊥,⊤}. Selon le premier point de vue, l’image réciproque de i : A ↪ B par f : X → B est le produit fibré de A et X au-dessus de B. Selon le deuxième point de vue, l’image réciproque de c : B → {⊥,⊤} par f : X → B est la composée f c.1 On ne peut pas faire la même chose pour des ensembles quelconques. Et d’ailleurs, si on n’explicite pas la relation entre deux ensembles, alors selon le point de vue catégorique, il n’y en a pas (je trouve ça beaucoup mieux).
On peut dire qu’on ne veut pas parler de telles choses, mais après c’est une question de goût, et je préfère la définition en se restreignant aux sous-ensembles, même si on emploie le langage « classique » (mais l’autre point de vue a aussi son intérêt).
[ajout] Tiens, j’ai trouvé ce lien, ça intéressera peut-être Ozmox de s’entraîner à montrer les propriétés listées : http://math.stackexchange.com/questions/359693/overview-of-basic-results-about-images-and-preimages
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Ce point de vue permet d’ailleurs d’expliquer simplement pourquoi les opérations ensemblistes commutent avec l’image réciproque. Par exemple, l’union de deux parties de fonctions caractéristiques $c_1, c_2 : B \to \{\bot,\top\}$ est donnée en composant $(c_1,c_2) : B \to \{\bot,\top\}^2$ avec la fonction $\lor : \{\bot,\top\}^2 \to \{\bot,\top\}$. Et alors $f (c_1, c_2) \lor = (f c_1, f c_2) \lor$. ↩
