Image directe et réciproque

Salut tout le monde!

Soit la fonction $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ définie par $x \rightarrow x^2$.

Je dois calculer les ensembles suivants, voici mes réponses :

$f([0, 1[) = [0, 1[$

$f(\mathbb R) = \mathbb R^+$

$f(]-1 , 2[) = ]1, 4[$

$f^{-1}([1, 2[) = [1, \sqrt{2}[$

$f^{-1}([-1 , 1]) = \emptyset$ (puisque $\forall x \in \mathbb R, x^2 \geq 0$) ou bien $[0, 1]$…

$f^{-1}(\{3\}) = {\{\sqrt{3}\}}$

$f^{-1}(\complement_{\mathbb R} \mathbb N) = \complement_{\mathbb R^+} \mathbb N$

Donc si j’ai bien compris, l’application réciproque de $x \rightarrow x^2$ est $x \rightarrow \sqrt{x}$? Quand on me demande de représenter ses ensembles, cela veux dire qu’il faut que je trace la portion du graphe de f(x) correspondant?

Merci pour votre aide (il se peut que je ne dise que des bêtises dans ce topic! ).

Yop !

C’était juste jusqu’à :

D’ailleurs, les résultats sur $f^{-1}$ sont, je crois, tous faux ^^’

C’est quoi pour toi la définition de, pour $A$ une partie de $\mathbb{R}$, $f^{-1}(A)$ ? Si tu t’en rends compte sur $f^{-1}(\{3\})$, tu devrais trouver toutes tes autres erreurs je pense

L’application réciproque de $\displaystyle x\mapsto ^2$ n’est pas $x\mapsto\sqrt{x}$. En tout cas, dit comme ça c’est faux, il te manque une info C’est d’ailleurs, en fait, quasiment la même erreur qu’au-dessus en fait.

Les 2 premières réponses sont justes. BunshinKage dit que la réponse 3 est juste, mais elle est fausse.

Merci pour vos réponses.

@elegance : Il me semble que BunshinKage parle de la réponse 4.

En effet en traçant le graphe de f je pense avoir compris mon erreur dans les applications réciproques :

$f^{-1}([1, 2[) = ]-\sqrt{2}, \sqrt{2}[$

$f^{-1}(\{3\}) = \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$

$f^{-1}([-1, 1]) = \emptyset$ ou $[-1, 1]$?

$f^{-1}(\complement_{\mathbb R} \mathbb N) = \complement_{\mathbb R} \mathbb N$

EDIT : Après réflexion il semble donc que $x \rightarrow \sqrt{x}$ soit l’application réciproque de $x \rightarrow x^2$… Même si je n’ai pas encore abordé cette partie du cours, il me semble qu’on parle d’application inverse (ou bijection réciproque) et que cela fonctionne dans les deux sens.

@elegance : Il me semble que BunshinKage parle de la réponse 4.

Justement, $f(]-1 , 2[) = ]1, 4[$ (réponse 3) est faux.

Quand à tes nouvelles réponses, il manque encore quelque chose (un problème proche de celui de la question 3, d’ailleurs).

Ok, voici une rectification :

$f(]-1 , 2[) = ]1, 0] \cup [0, 4[$

$f^{-1}([1, 2[) = ]-\sqrt{2}, -1] \cup [1, \sqrt{2}[$

$f^{-1}([-1, 1]) = \emptyset$ ou bien $[-1, 0] \cup [0, 1]$???

Je garde la réponse de mon post précédent pour $f^{-1}(\{3\})$.

Non, parce que tu dois préciser les domaines et codomaines et que $\mathbf R$ ne sera certainement pas le domaine de $x\mapsto \sqrt x$ comme ton écriture pourrait le sous-entendre.

Ok, voici une rectification :

$f(]-1 , 2[) = ]1, 0] \cup [0, 4[$

Si tu écris ça c’est que tu n’as pas compris. D’ailleurs $]1,0]$ c’est pas clair ce que c’est.

$f^{-1}([1, 2[) = ]-\sqrt{2}, -1] \cup [1, \sqrt{2}[$

Ok

$f^{-1}([-1, 1]) = \emptyset$ ou bien $[-1, 0] \cup [0, 1]$???

Tu dois revenir à la définition de l’image réciproque, tu ne l’as visiblement pas comprise.

$f(]-1 , 2[) = ]1, 0] \cup [0, 4[$

Écrit comme ça, ça n’a pas de sens, mais tu sembles sur la bonne voie.

Il faut que tu réfléchisses… Pourquoi ce serait vide, pourquoi ce serait l’autre ?

J’ai l’impression que tu galères. J’ai deux conseils :

• fait des graphes, tu verras tout de suite les choses.
• formellement, essaie de découper tes ensembles en intervalles sur lesquels la fonction est monotone. Ce sera plus simple.

Euh… pour $f(]-1 , 2[)$ c’est pas simplement $[0, 4[$? Je ne sais pas trop ce qui m’a pris d’écrire $]1, 0]$.

Si je reviens à la définition d’une image réciproque, il est dit que l’intervalle B dans $f^{-1}(B)$ est une partie de l’ensemble d’arrivée de f. L’énoncé écrit que l’ensemble d’arrivé de $x \rightarrow x^2$ est $A_f = \mathbb R$, donc on a bien $[-1, 1] \subset A_f$ ce que je ne comprends pas, j’aurais écrit $A_f = \mathbb R^+$ et alors [-1, 1] n’est pas dans $A_f$…

Au passage, c’est la question 4) page 6.

Euh… pour $f(]-1 , 2[)$ c’est pas simplement $[0, 4[$? Je ne sais pas trop ce qui m’a pris d’écrire $]1, 0]$.

Ca oui c’est juste

Si je reviens à la définition d’une image réciproque, il est dit que l’intervalle B dans $f^{-1}(B)$ est une partie de l’ensemble d’arrivée de f.

T’es sûr de toi là-dessus ? Est-ce que tu peux, avec des notations ensemblistes, exprimer $f^{-1}(B)$ de manière générale ?

Voici la définition du cours :

Dans ce cas, j’écrirai que $f^{-1}([-1, 1]) = [-1, 0] \cup [0, 1]$.

Holosmos, j’ai édité mon message plus haut où je parle de l’application réciproque.

Oui, ton cours est juste, mais l’image réciproque de B, elle fait partie de E, ou de F ? En d’autres mots, elle fait partie de l’ensemble de départ de f, ou de son ensemble d’arrivée ?

L’image réciproque de B fait partie de l’ensemble de définition E de la fonction f. D’ailleurs, je ne le nie pas dans ce que j’ai écrit plus haut. Je pense avoir compris correctement la définition. Mais je dirais plutôt que la f est une fonction de R dans R+, ce qui n’est pas le cas de l’énoncé. Pour aucune valeur de x on a x^2 = -1 donc selon cette définition, [-1, 1] n’est pas inclus dans $A_f = R+$.

Comment écrirais-tu une définition de l’image réciproque par la fonction f alors?

Le fait que f : R → R ne rentre pas en contradiction avec le fait que f(R) ⊂ R+. Il faut différencier l’image et le codomaine.

J’ai proposé plus haut (et ce n’est pas un édit!) que $f^{-1}([-1, 1]) = [-1, 0] \cup [0, 1]$. Maintenant, on n’aura pas de $x$ tel que $x^2 < 0$ donc… C’est simplement ça qui me pose problème. L’énoncé indique que f : R → R. Quand tu dit que f(R) ⊂ R+, justement ça confirme la définition de l’image directe : le R dans f(R) correspond à l’ensemble de départ (du coup, je pense qu’on n’est pas obligé d’utiliser l’inclusion stricte dans la définition).

Après on peut aussi définir en compréhension mais ça ne semble rien indiquer de plus sur $B$.

Comment écrirais-tu une définition de l’image réciproque par la fonction f alors?

Comme le reste du monde (avec $f:E\to F$) :

Pas besoin d’avoir $B\subset F$ pour avoir une valeur de vérité pour la proposition $f(x)\in B$.

J’ai proposé plus haut (et ce n’est pas un édit!) que $f^{-1}([-1, 1]) = [-1, 0] \cup [0, 1]$. Maintenant, on n’aura pas de $x$ tel que $x^2 < 0$ donc… C’est simplement ça qui me pose problème. L’énoncé indique que f : R → R. Quand tu dit que f(R) ⊂ R+, justement ça confirme la définition de l’image directe : le R dans f(R) correspond à l’ensemble de départ (du coup, je pense qu’on n’est pas obligé d’utiliser l’inclusion stricte dans la définition).

Ce que tu écris n’a pas de sens si tu as compris la définition. Il n’y a aucune situation où tu puisses avoir envie de dire que $[-1,0]\subset f^{-1}([-1,1])$ si tu as compris $f:\mathbf{R}\to \mathbf R_+$ et la définition de l’image réciproque. Ton paragraphe ne fait pas sens

En effet je pense que je part un peu trop loin. Je vais réfléchir posément.

Hein ? C’est moi qui me goure, ou on a bien $[-1\,;\,0]\subset f^{-1}([-1\,;\,1])$ ?

Oui cette chose est vraie. Mais écrire ainsi montre un problème de compréhension. (Regarde la tête du paragraphe, on ne sait même pas d’où a été parachuté $[-1,0]$.)