Équation avec les parties d'un ensemble

Bonsoir,

Considérons trois ensembles $A$, $B$, $X$ $\in P(E)$. Je dois résoudre l’équation d’inconnu $X$ suivante : $A \cap X = B$.

Mon raisonnement :

Si $B \not \subset A$ alors l’équation n’admet pas de solution. Sinon, $A \cap B = B$ et alors on peut écrire $X = B \cup C$ où $C \subset \complement_E A$ puisque $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) = (A \cap B) \cup \emptyset = B$. Donc $S = \{X = B \cup C | C \subset \complement_E A\}$.

La correction semble afficher quelque chose d’un peu différent. Faut-il nécessairement passer par toutes ces étapes? Qu’est-ce qu’il y a de plus pertinent dans la correction qu’ici?

Merci, bonne fin de journée.

EDIT : ERREUR DE MA PART, IL S’AGIT DE $X = B \cup C$.

Oublie pas de préciser l’inconnue quand tu veux résoudre une équation … J’ai du lire l’énoncé pour comprendre.

Je suis pas d’accord avec $X=B\cap C$ puisque si tel est le cas, alors $A\cap X$ est vide (puisque ses éléments sont dans $A$ et le complémentaire de $A$, puisque dans $C$).

Y a une technique à mon avis plus directe, qui consiste à écrire $X = (X\cap A) \cup (X\cap A^c)$, et là c’est presque fini.

edit : (la correction utilise aussi cette remarque)

En effet, il s’agit d’une erreur de recopiage de ma part!

On a en fait $X = B \cup C$…

Tu n’as pas bien détaillé pourquoi $X = B\cup C$, tu as montré que ça marchait, pas que c’était toujours le cas.

Justement, j’ai du mal à comprendre : $X = (X\cap A) \cup (X\cap \complement_E A)$…

L’ensemble $E$ est découpé (partitionné) en deux parties disjointes $A$ et $A^c$. Du coup, ça coupe aussi $X$ en deux parties disjointes. Formellement, $X = X \cap (A \cup A^c)$ et ensuite on utilise la distributivité de l’intersection sur l’union.

(La résolution de cet exercice est « automatique » en passant par les fonctions caractéristiques des ensembles.)

Ouai non en fait j’ai compris.

En gros $E = A \cup A^c$ et comme $X \in P(E)$ on a $X \cap (A \cup A^c) = X \cap E = X$.

Merci pour votre aide!

(rien finalement, tu as édité)

C’est vrai qu’il fallait y penser à ce raisonnement, je ne l’ai pas eu du coup.

Pour l’équation 1499, j’ai :

Soit $1 : P(E) \mapsto \{0,1\}^E$

$A \cup X = B \iff 1_{A \cup X} = 1_B \iff 1_A + 1_X - 1_A . 1_X = 1_B \iff 1_X = 1_B - 1_A + 1_A . 1_X = 1_{\complement_B A}$ si $x \in A \Delta B$ ou $1_B$ si $x \in A \cap X$.

Je devrais conclure que $S = \{X \in P(E) | \complement_B A \subset X \subset B \}$ mais je ne vois pas comment…

En fait ce que j’entendais c’est qu’on a des équations indépendandes pour chaque élément de $E$. Donc on résout pour chaque élément de $E$, en fonction de s’il est dans $A$ et de s’il est dans $B$, les valeurs possibles de son appartenance à $X$ (est-ce qu’il est forcé d’y appartenir, est-ce qu’il n’y a aucune possibilité, etc.).

Pour l’équation $A \cup X = B$, le tableau ci-dessous donne les possibilités pour l’appartenance à $X$ d’un élément en fonction de son appartenance à $A$ et $B$ ($0$ s’il n’est pas dedans et $1$ s’il est dedans).

Si on note $f$ la fonction donnée par le tableau ci-dessus, alors les solutions sont $\prod_{x\in E} f(1_A(x),1_B(x))$ (ça veut dire que pour chaque élément de $E$, on a comme possibilités celles données par $f$, mais c’est pas très important si tu ne comprends pas exactement cette notation).

Ensuite pour arriver à la réponse attendue, déjà le problème est mal défini : comment distingue-t on formellement la réponse attendue de $\{X\,|\,A \cup X = B\}$ ? Éventuellement, on s’impose une condition de la forme $f(A,B) \subseteq X \subseteq g(A,B)$ (on peut toujours arriver à une condition de cette forme, c’est une conséquence du même fait lorsque $E$ est un singleton comme on va le voir sur l’exemple).

Dans ce cas, on construit les deux tableaux suivants. Le premier est ce à quoi $X$ doit être supérieur (doit contenir) et le deuxième ce à quoi $X$ doit être inférieur (doit être contenu dans).

• Pour la case en haut à gauche, on a bien $\{0\}$ qui est l’ensemble des solutions à $0 \leq x \leq 0$.
• Pour la case en bas à gauche, $\{1\}$ est l’ensemble des solutions de $1 \leq x \leq 1$.
• Pour la case en haut à droite, il n’y a bien aucune solution à $1 \leq x \leq 0$.
• Pour la case en bas à droite, toutes les valeurs sont solutions de $0 \leq x \leq 1$.

Le premier tableau est $A \Delta B$ et le deuxième $B$. On obtient donc comme condition $A \Delta B \subseteq X \subseteq B$.

(On aurait pu gérer autrement le cas de quand il n’y a pas de solution pour obtenir la condition de la correction.)

C’est d’ailleurs une application de l’idée de conjugaison : on commence par se ramener à des tableaux, ce qui permet de faire des calculs finis, puis on revient au langage avec les $\subseteq$, $\cup$, etc.

J’avoue avoir un petit peu de mal à te suivre. Au final, comment pourrais-je conclure simplement avec ce que j’ai écris au-dessus?

Je ne sais pas à partir de ce que tu as écrit, je n’avais pas en tête de passer la la formule $1_{A \cup B} = 1_A + 1_B - 1_A 1_B$. Je ne comprends pas trop ce que tu as marqué, d’où sort ce $A \Delta B$, etc. Et tu as fait une erreur de signe avec $1_A 1_X$.

Pour chaque élément de $E$, on a quatre cas. Soit il est dans $A$ et dans $B$, soit il est dans $A$ et pas dans $B$, etc. Pour chacun de ces cas, tu vas soit être forcé de mettre l’élément dans $X$, soit être forcé de ne pas le mettre, soit avoir le choix, soit n’avoir aucune possibilité. Ça donne le premier tableau que j’ai mis. Est-ce que c’est déjà clair ?

Ça te donne une fonction qui prend deux paramètres $a$ et $b$, valant chacun $0$ ou $1$, et donnant un sous-ensemble de $\{0,1\}$. Notons $S$ cette fonction.

On cherche ensuite à exprimer $S$ sous la forme $S(a,b) = \{x\,|\,f(a,b)\leq x\leq g(a,b)\}$. Les fonctions $f$ et $g$ sont données par les deux tableaux qui suivaient. Ensuite, on exprime $f$ et $g$ avec le langage ensembliste au lieu d’un tableau (des unions, des intersections, etc.). Ça donne que $f$ est la différence symétrique et que $g(a,b) = b$.

C’était ça la méthode automatique dont je parlais, mais je ne sais pas trop comment expliquer plus clairement, désolé… Après tu peux toujours passer par la visualisation.

Il semble que la condition pour que X soit solution de l’équation soit $\complement_B A \subset X \subset B$.

Sinon, je suis OK avec tes notations, le principe de cette résolution "automatique" quoi.

Cependant, je n’arrive pas à comprendre la manière dont tu construit les deux derniers tableaux.

EDIT : Ma méthode est mauvaise et n’aboutie à rien. J’essaye d’assimiler la tienne.

Il semble que la condition pour que X soit solution de l’équation soit $\complement_B A \subset X \subset B$.

La condition complète est $(A \subseteq B) \land (B \setminus A \subseteq X \subseteq B)$. Une condition équivalente est $A \Delta B \subseteq X \subseteq B$.

Sinon, je suis OK avec tes notations, le principe de cette résolution "automatique" quoi.

EDIT : Ma méthode est mauvaise et n’aboutie à rien. J’essaye d’assimiler la tienne.

Bon, après le but de l’exercice était de faire manipuler les opérations ensemblistes, donc il vaut mieux que tu passes aussi par la visualisation.

Cependant, je n’arrive pas à comprendre la manière dont tu construit les deux derniers tableaux.

Je réessaie d’expliquer. Prends le premier tableau. À la place de chaque ensemble, écris une équation dont cet ensemble est l’ensemble des solutions. Ça donne le tableau suivant.

(Le cas de l’ensemble vide est une bidouille et pourrait être traité différemment mais bref.)

Les deux tableaux dont tu parles sont obtenus en prenant les coefficients avant le premier $\leq$ et après le deuxième $\leq$. Notons $f$ et $g$ ces deux opérations logiques. On a donc le tableau ci-dessous.

Quand on fait des opérations ensemblistes avec des unions, des intersections, etc., on effectue la même opération logique pour chaque élément, en parallèle. Et tester une inclusion, c’est effectuer l’opération de comparaison $\leq$ pour chaque élément, puis prendre la conjonction.
On veut que pour chaque élément $z$, on ait $f(A_z, B_z) \leq X_z \leq g(A_z, B_z)$ (en notant $A_z$ à la place de $1_A(z)$). Autrement dit, en passant aux ensembles tout entier, on veut que $f(A,B) \subseteq X \subseteq g(A,B)$.

Il faut pour terminer écrire ces opérations logiques $f$ et $g$ dans le langage demandé (unions, etc.).