Équivalence logique entre deux propositions

Bonjour, je cherche à savoir si il y a équivalence logique entre les deux propositions suivantes, où f est une fonctions de E dans F et A, B sont des parties de E et y un élément de F :

$\exists x \in A \cup B, f(x) = y$ et $(\exists x \in A, f(x) = y) \text{ou} (\exists x \in B, f(x) = y)$.

En fait, je souhaite montrer que $\forall A, B \in \mathcal P(E), f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$. Je voulais savoir s’il était possible de procéder par équivalence, en gros je pars de $y \in f(A \cup B) \iff \exists x \in A \cup B, f(x) = y$ et j’utilise ce qui est écrit au dessus.

Sinon, je vois comment procéder par double inclusion.

Merci!

$x \in A \cup B :\!\iff x \in A \lor x \in B$.

(et non, ce que tu souhaites montrer n’a rien à voir avec la proposition de départ, en tout cas pas directement)

Donc les deux assertions n’ont pas la même valeur logique, je dois procéder par double inclusion, c’est ça?

Si, mais passer de $\exists x \in A, f(x) = y \lor \exists x \in B, f(x) = y$ à $\forall y \in f(A \cup B), y \in f(A) \cup f(B)$ n’est pas si évident.

D’accord, je vais essayer au brouillon. Pas évident tu veux dire pas très intuitif ou bien qui demande d’utiliser des outils mathématiques compliqués?

Je veux dire qu’il faut faire attention à ce qu’on fait. Mais non, ce n’est pas compliqué.

Par ailleurs, lorsque tu dit ’si’ dans ton second post, ça répond à quelle question?

Wow, ton mathjax déborde de ton post…

Du coup qu’est-ce qu’il ne va pas dans mon raisonnement pour monter que $\forall A, B \in \mathcal P(E), f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$?

Bah il manque encore un étape. (:

Voici le raisonnement auquel je pensais :

$y \in f(A \cup B) \iff \exists x \in A \cup B, f(x) = y \iff (\exists x \in A, f(x) = y) \text{ou}(\exists x \in B, f(x) = y) \iff y \in f(A) \text{ou} y \in f(B) \iff y \in f(A) \cup f(B)$.

Quelle étape manque-t-il?

@bloyhg : c’est pas plutôt ’ou’ dans ton raisonnement?

J’ai pigé.

Cela ne fonctionne que dans un sens pour l’intersection : $\forall A, B \in \mathcal P(E), f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$.

Pour le prouver, on va montrer que : $\neg[\forall A, B \in \mathcal P(E), f(A) \cap f(B) \subset f(A \cap B)] \equiv [\exists A, B \in \mathcal P(E), f(A) \cap f(B) \not \subset f(A \cap B)]$ est vrai.

Prenons A et B disjoints avec $f(A) \cap f(B) \neq \emptyset$. Pourtant, $f(A \cap B) = f(\emptyset) = \emptyset$. On a bien $\emptyset \subset f(A) \cap f(B)$ mais certainement pas $f(A) \cap f(B) \subset \emptyset$.

Oui, ça donne des contre-exemples. (Mais un détail, il se peut que pour certaines fonction $f$, on ait $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$ de vérifié pour tout $A$ et $B$. Ce qu’il faut montrer c’est qu’il existe une fonction $f$ et deux parties $A, B$ de son domaine tel que $f(A \cap B) \neq f(A) \cap f(B)$.)

Mais ce que je voulais dire, c’est identifier le bout du raisonnement pour l’union qui ne fonctionne pas pour l’intersection.

Mais ce que je voulais dire, c’est identifier le bout du raisonnement pour l’union qui ne fonctionne pas pour l’intersection.

J’ai besoin d’un petit indice car c’était mon idée de départ, je n’arrive pas à voir.

Il suffit d’écrire ton raisonnement entièrement, pas par pas, et regarder quelle étape bloque pour l’intersection. Par exemple, on a toujours $y \in f(A \cap B) \iff \exists x \in A \cap B : f(x) = y$. Ensuite, l’étape suivante devient fausse, ce n’est pas équivalent à $(\exists x \in A : f(x) = y) \land (\exists x \in B : f(x) = y)$. Ce qui est entre ces deux étapes a été donné par dab. Il faut maintenant regarder l’équivalence qui bloque dans ce que dit dab et la détailler.

C’est rigolo que tu poses ça comme problème car je viens exactement de (re)voir ça ce matin en cours de proba financières! Je vois qu’on t’as déjà donner plein de bonnes pistes/réponses, bon courage !

Excusez ma réponse tardive, je viens de reprendre mes exercices.

En reprenant la preuve de dab, je n’arrive pas à voir ce qui bloque, il me semble que toute les étapes soient respectées si on prend $A \cap B$. Quel est l’intérêt d’une telle question si l’exercice demande simplement de montrer que $f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$?

Tu dit blo yhg que c’est une indication que j’ai suffisamment détaillé mais j’ai l’impression que l’on part sur un autre exercice là.

Je parlais du fait que $A \cup B$ est vide si et seulement si $A$ est vide et $B$ est vide, c’est ça qui ne fonctionne pas en remplaçant l’union par une intersection et le "et" par un "ou".